Calcule os limites.
lim x 4 |2 x^2-11 x+12|x^2-16

Passo 1

O enunciado pede
limxto4lvert2x^2-11x+12rvertx^2-16
que é uma forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar fatoração, simplificar e analisar os limites laterais levando em conta o valor absoluto.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
2x^2-11x+12=(2x-3)(x-4),
x^2-16=(x-4)(x+4)
Então, para xneq4,
lvert2x^2-11x+12rvertx^2-16 =lvert2x-3rvert;lvert x-4rvert(x-4)(x+4)

Passo 3

Para x>4, temos x-4>0 e perto de 4 ainda 2x-3>0, logo lvert x-4rvert=x-4 e lvert2x-3rvert=2x-3. Assim
lvert2x^2-11x+12rvertx^2-16 =(2x-3)(x-4)(x-4)(x+4) =2x-3x+4
Fazendo xto4^+:
limxto4^+2x-3x+4 =2cdot4-34+4 =58

Passo 4

Para x<4, temos x-4<0 mas 2x-3>0 perto de 4, logo lvert x-4rvert=4-x e lvert2x-3rvert=2x-3. Então
lvert2x^2-11x+12rvertx^2-16 =(2x-3)(4-x)-(4-x)(x+4) =-2x-3x+4
Fazendo xto4^-:
limxto4^-l(-tfrac2x-3x+4r) =-2cdot4-34+4 =-58

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( ,5/8 e -5/8), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto4lvert2x^2-11x+12rvertx^2-16 não existe, pois
limxto4^-=-tfrac58 e limxto4^+=tfrac58.

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