Esboce a imagem das seguintes funções:
r1(t)=(t-4, t^2+5), t in R.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
vec r1(t) = l(x(t),y(t)r) com
x(t)=t-4, y(t)=t^2+5, tinR,
e pede o esboço da imagem dessa função. O conteúdo envolvido é o de curvas em R^2 definidas por parámetro, que aqui resulta numa parábola.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro t para ver a relação direta entre x e y. De
x = t - 4
segue
t = x + 4
Substituindo em y(t) obtemos
y = l(x+4r)^2 + 5

Passo 3

Reconhecemos y=(x+4)^2+5 como uma parábola com concavidade voltada para cima. O vértice está em
l(-4,;5r),
pois é onde o quadrado (x+4)^2 atinge zero. À medida que lvert x+4rverttoinfty, ytoinfty.

Passo 4

Para esboçar, marcamos o vértice em (-4,5) e representamos a curva aberta para cima, passando por pontos como:
x=-3Rightarrow y=(1)^2+5=6, x=-5Rightarrow y=( -1)^2+5=6
Não há restrição de domínio em x; toda a parábola se estende indefinidamente.

Resposta

A imagem é a parábola
y=(x+4)^2+5,
com vértice em (-4,5) e concavidade para cima.

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