Esboce a imagem das seguintes funções:
r4(t)=(t^2, t), t in R.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a imagem da curva paramétrica r4(t) = (t^2,t), com tinR. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em R^2. Vamos eliminar o parâmetro para identificar a equação cartesiana da curva e depois analisar formato, vértice e orientação.

Passo 2

Como a segunda coordenada é , temos . Substituindo na primeira coordenada:\r
\r
Portanto a curva é dada por\r
\r
que é uma parábola no plano voltada para a direita, com vértice na origem .

Passo 3

Para entender o formato: \r
  • Quando y=0, x=0: ponto (0,0) é o vértice. \r
  • Para yneq0, x=y^2>0, logo a parábola se abre para valores de x>0. \r
  • A simetria em relação ao eixo x (ou seja, ao eixo horizontal) é clara, pois trocar y por -y não altera x=y^2.

Passo 4

Agora a orientação (sentido da curva) vem do parâmetro t: \r
  • Para tto -infty, temos y=tto -infty e x=t^2to +infty, a curva parte do infinito no quarto quadrante, na direção de (0,0). \r
  • À medida que t aumenta de valores negativos para 0, o ponto move-se subindo e indo para a esquerda até o vértice (0,0). \r
  • Para t>0, o ponto sai de (0,0) e sobe para o primeiro quadrante, com y>0 e x=y^2 crescendo de novo para +infty. \r
    Em amostra de pontos: \r
    ;t=-2mapsto(4,-2), \r
    ;t=-1mapsto(1,-1), \r
    ;t=0mapsto(0,0), \r
    ;t=1mapsto(1,1), \r
    ;t=2mapsto(4,2).

Resposta

A imagem de é a parábola \r
\r
com vértice em , abertura para a direita e orientação tal que, conforme cresce de a , o ponto vem de , passa por e segue para .

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