Esboce a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a imagem da curva paramétrica
, com
. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em
. Vamos eliminar o parâmetro para identificar a equação cartesiana da curva e depois analisar formato, vértice e orientação.
Passo 2
Como a segunda coordenada é
, temos
. Substituindo na primeira coordenada:\r
Portanto a curva é dada por\r
que é uma parábola no plano
voltada para a direita, com vértice na origem
.
Passo 3
Para entender o formato: \r
- Quando
, : ponto é o vértice. \r - Para
, , logo a parábola se abre para valores de . \r - A simetria em relação ao eixo
(ou seja, ao eixo horizontal) é clara, pois trocar por não altera .
Passo 4
Agora a orientação (sentido da curva) vem do parâmetro
: \r
- Para
, temos e , a curva parte do infinito no quarto quadrante, na direção de . \r - À medida que
aumenta de valores negativos para , o ponto move-se subindo e indo para a esquerda até o vértice . \r - Para
, o ponto sai de e sobe para o primeiro quadrante, com e crescendo de novo para . \r
Em amostra de pontos: \r
, \r
, \r
, \r
, \r
.
Resposta
A imagem de
é a parábola \r
com vértice em
, abertura para a direita e orientação tal que, conforme
cresce de
a
, o ponto vem de
, passa por
e segue para
.