Esboce a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva dada pela função vetorial
, com
.
O conteúdo é curvas paramétricas em e vamos usar a eliminação de parâmetro para identificar a curva no plano cartesiano.
O conteúdo é curvas paramétricas em
Passo 2
Escolhemos
. Da segunda componente temos
Elevando ao quadrado, obtemos a equação cartesiana sem o parâmetro.
Passo 3
A equação cartesiana é
que pode ser reescrita como
Isso é a equação de uma hipérbole centrada na origem e com eixos principais nos eixos
e
.
Passo 4
O domínio original exige
, ou seja,
ou
. Portanto, a hipérbole tem dois ramos:
- Para
(ou ), temos e formando o ramo à direita. - Para
(ou ), temos também os dois sinais de , formando o ramo à esquerda.
Passo 5
As assíntotas dessa hipérbole surgem ao observarmos o comportamento quando
:
Logo, as retas
e
são assíntotas.
Passo 6
Pontos notáveis: quando
temos
, portanto a curva passa pelos pontos
e
. À medida que
cresce, os ramos se aproximam das retas assíntotas.
Passo 7
Para esboçar:
- Marque os pontos
e . - Desenhe as assíntotas
e como guias. - Trace duas “cavidades” de hipérbole abrindo para a direita a partir de
e para a esquerda a partir de , aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A imagem de
é a hipérbole
com ramos para
e
, passando por
e com assíntotas
.