Esboce a imagem das seguintes funções:
r3(t)=(t, pm raizt^2-1), forall|t|>1.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva dada pela função vetorial
vec r3(t) = l(t,pmraizt^2-1r), com lvert trvert>1.
O conteúdo é curvas paramétricas em R^2 e vamos usar a eliminação de parâmetro para identificar a curva no plano cartesiano.

Passo 2

Escolhemos x = t. Da segunda componente temos
y = pmraizt^2-1 = pmraizx^2-1
Elevando ao quadrado, obtemos a equação cartesiana sem o parâmetro.

Passo 3

A equação cartesiana é
y^2 = x^2 - 1,
que pode ser reescrita como
x^2 - y^2 = 1
Isso é a equação de uma hipérbole centrada na origem e com eixos principais nos eixos x e y.

Passo 4

O domínio original exige lvert trvert>1, ou seja, x>1 ou x<-1. Portanto, a hipérbole tem dois ramos:
  • Para t>1 (ou x>1), temos y=+raizx^2-1 e y=-raizx^2-1 formando o ramo à direita.
  • Para t<-1 (ou x<-1), temos também os dois sinais de y, formando o ramo à esquerda.

Passo 5

As assíntotas dessa hipérbole surgem ao observarmos o comportamento quando lvert xrverttoinfty:
y = pmraizx^2-1sim pmraizx^2=pm x
Logo, as retas y = x e y = -x são assíntotas.

Passo 6

Pontos notáveis: quando x=pm1 temos y=0, portanto a curva passa pelos pontos (1,0) e (-1,0). À medida que lvert xrvert cresce, os ramos se aproximam das retas assíntotas.

Passo 7

Para esboçar:
  1. Marque os pontos (1,0) e (-1,0).
  2. Desenhe as assíntotas y=x e y=-x como guias.
  3. Trace duas “cavidades” de hipérbole abrindo para a direita a partir de (1,0) e para a esquerda a partir de (-1,0), aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A imagem de vec r3(t) é a hipérbole
x^2-y^2=1
com ramos para x>1 e x<-1, passando por (pm1,0) e com assíntotas y=pm x.

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