Calcule os limites : lim x 5 |x^2-7 x+10|x^2-25

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 5 da expressão . Vamos usar conceitos de limites, valor absoluto e fatoração de polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
O numerador é x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) . Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -2 e -5, então:
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
O denominador é . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 3

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
|x^2-7 x+10|x^2-25 = |(x - 2)(x - 5)|(x - 5)(x + 5)
Podemos separar o valor absoluto:
|x - 2| cdot |x - 5|(x - 5)(x + 5)

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento quando |x - 2| cdot (x - 5)(x - 5)(x + 5) = |x - 2|x + 5 se aproxima de 5. Note que |x - 2| cdot (5 - x)(x - 5)(x + 5) = |x - 2|-(x + 5) = |x - 2|x + 5 está presente tanto no numerador quanto no denominador.
Como estamos tratando de um limite, está se aproximando de 5, mas não exatamente igual a 5. Vamos considerar dois casos:
  1. Quando :
    • é positivo, então .
    • A expressão fica:
  2. Quando :
    • é negativo, então .
    • A expressão fica:
Perceba que, em ambos os casos, a expressão simplifica para .

Passo 5

Agora, vamos substituir |5 - 2|5 + 5 = 310 por 5 nessa expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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