Considere o conjunto S de todos os números reais x in [0,1] que tem uma expansão decimal da forma
x = 0, d1 d2 d3 ... dn ...
onde todos os dígitos di então no conjunto {0, 2, 3, 4, 6, 7, 9}. Indique a afirmação falsa.
(a) S é um conjunto fechado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de números reais entre 0 e 1 que podem ser escritos na forma decimal , onde cada dígito pode ser 0, 2, 3, 4, 6, 7 ou 9. A pergunta é: “Indique a afirmação falsa.” E a opção que temos é:
(a) é um conjunto fechado.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre conjuntos fechados na matemática, especificamente em análise real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em termos simples, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Isso significa que se você tem uma sequência de números dentro desse conjunto que converge para algum valor, esse valor também precisa estar dentro do conjunto para que ele seja considerado fechado.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Como é composto por números que têm apenas os dígitos 0, 2, 3, 4, 6, 7 ou 9 na sua expansão decimal, ele exclui números que precisariam de outros dígitos, como 1, 5 ou 8.

Passo 4

Vamos pensar em limites dentro de . Por exemplo, considere a sequência de números . Essa sequência converge para . Esse limite também está em , porque sua expansão decimal usa apenas o dígito 2.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se isso vale para todos os possíveis limites de sequências dentro de . Se todas as possíveis sequências em tiverem seus limites também em , então é fechado.

Passo 6

No entanto, observe que o conjunto não inclui números cuja expansão decimal exigiria os dígitos 1, 5 ou 8. Mas como estamos lidando apenas com números entre 0 e 1 e usando somente os dígitos permitidos, qualquer limite formado por tais sequências ainda estará dentro de .

Passo 7

Portanto, o conjunto contém todos os seus pontos de limite, o que significa que ele é um conjunto fechado.

Resposta

A afirmação (a) é verdadeira. Portanto, não é falsa.

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