Seja
uma sequência de números reais tal que
para todo
. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
e indique a afirmação falsa.
© Existe uma função derivável
em
de modo que
para todo
em
.
© Existe uma função derivável
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência de números reais
que satisfaz
para todo número natural
. Com base nessa sequência, temos uma série de potências centrada em 0, dada por
O objetivo é analisar a afirmação ©, que diz que existe uma função derivável
no intervalo
tal que
Então, vamos precisar entender sobre séries de potências, convergência de séries, e propriedades de funções deriváveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série
. Sabemos que
, o que significa que
está muito próximo de 1 para valores grandes de
.
Isso nos lembra a série geométrica
, que converge para
. Se
fosse exatamente 1 para todo
, teríamos exatamente essa série geométrica.
Passo 3
Agora, vamos escrever
, onde
. Substituindo isso na série
:
A primeira soma é a série geométrica
, e a segunda soma podemos chamar de
:
Onde:
Passo 4
Precisamos verificar se
é derivável no intervalo
. Para isso, vamos analisar a convergência da série de
.
Sabemos que
, então:
No intervalo
, temos
. Assim:
Mas, para garantir a convergência, precisamos aplicar o teste da raiz ou razão. Vamos usar o teste da razão:
Como
, temos
. Portanto, a série converge absolutamente e
é diferenciável nesse intervalo.
Passo 5
Como
é derivável em
e
, a afirmação © está correta. Mas o enunciado pede para indicar a afirmação falsa. Isso significa que a afirmação © não é a falsa, e sim uma das verdadeiras.
Resposta
A afirmação © é verdadeira.