Seja (an) uma sequência de números reais tal que |an-1| <= 2^-n para todo n in N. Considere a série de potências centrada em 0 dada por
f(x)=sumn=0^infty an x^n
e indique a afirmação falsa.
© Existe uma função derivável g(x) em [-0.5,0.5] de modo que f(x)=11-x+g(x) para todo x em [-0.5,0.5].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência de números reais f(x) = sumn=0^infty an x^n que satisfaz f(x) = 11 - x + g(x) para todo número natural . Com base nessa sequência, temos uma série de potências centrada em 0, dada por
O objetivo é analisar a afirmação ©, que diz que existe uma função derivável no intervalo tal que
Então, vamos precisar entender sobre séries de potências, convergência de séries, e propriedades de funções deriváveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série . Sabemos que , o que significa que está muito próximo de 1 para valores grandes de .
Isso nos lembra a série geométrica , que converge para . Se fosse exatamente 1 para todo , teríamos exatamente essa série geométrica.

Passo 3

Agora, vamos escrever f(x) = sumn=0^infty (1 + en) x^n = sumn=0^infty x^n + sumn=0^infty en x^n , onde f(x) = 11 - x + g(x) . Substituindo isso na série g(x) = sumn=0^infty en x^n :
A primeira soma é a série geométrica , e a segunda soma podemos chamar de :
Onde:

Passo 4

Precisamos verificar se |en x^n| <= 2^-n |x|^n é derivável no intervalo |en x^n| <= 2^-n cdot 0.5^n = (2 cdot 0.5)^n = 1^n = 1 . Para isso, vamos analisar a convergência da série de limn to infty | en+1 x^n+1en x^n | = limn to infty | en+1en x | <= limn to infty | 2^-(n+1)2^-n x | = limn to infty | 12 x | = |x|2 .
Sabemos que , então:
No intervalo , temos . Assim:
Mas, para garantir a convergência, precisamos aplicar o teste da raiz ou razão. Vamos usar o teste da razão:
Como , temos . Portanto, a série converge absolutamente e é diferenciável nesse intervalo.

Passo 5

Como é derivável em e , a afirmação © está correta. Mas o enunciado pede para indicar a afirmação falsa. Isso significa que a afirmação © não é a falsa, e sim uma das verdadeiras.

Resposta

A afirmação © é verdadeira.

Exercícios relacionados