Use as equações de Cauchy-Riemann juntamente com o Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 para mostrar que f^prime(z) e sua derivada f^prime prime(z) existem em todos os pontos, e ache f^prime(z) e f^prime prime(z) utilizando uma das igualdades f^prime(z)= partial upartial x+partial vpartial x i=partial vpartial y-partial upartial y i, ou uma das igualdades de sua versão polar f^prime(z)=(partial upartial r+i partial vpartial r) e^-i theta=(partial vpartial theta-i partial upartial theta) e^-i thetar, r neq 0, quando: f(z)=e^-z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos que as derivadas e existem para a função em todos os pontos. Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann e alguns corolários relacionados. Precisamos entender como se comporta em termos das suas partes reais e imaginárias, além de calcular as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função f(z) = e^-(x + iy) = e^-x e^-iy = e^-x (cos y - i sin y) nas suas partes real u = e^-x cos y e imaginária v = -e^-x sin y . Sabemos que , então:
Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = -e^-x cos y e partial upartial y = -e^-x sin y em relação a partial vpartial x = e^-x sin y e partial vpartial y = -e^-x cos y :

Passo 4

Vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para verificar se partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x é analítica, ou seja, se as derivadas existem em todos os pontos:
- e^-x cos y = - e^-x cos y (Verdadeiro)
Substituindo os valores:
- e^-x sin y = - e^-x sin y (Verdadeiro)
Como ambas as igualdades são verdadeiras, as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e é analítica em todos os pontos.

Passo 5

Agora que sabemos que f^prime(z) = partial upartial x + partial vpartial x i é analítica, podemos encontrar f^prime(z) = (- e^-x cos y) + (e^-x sin y)i = -e^-x (cos y - i sin y) usando uma das igualdades mencionadas:
f^prime(z) = -e^-x e^-iy = -e^-(x + iy) = -e^-z
Substituindo as derivadas que calculamos:
Lembrando que , temos:

Passo 6

Para encontrar f''(z) = ddz [f'(z)] = ddz [-e^-z] = -(-1) e^-z = e^-z , basta derivar :

Resposta

Assim, as derivadas de f^prime(z) = -e^-z são:
f^prime prime(z) = e^-z

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