Use as equações de Cauchy-Riemann juntamente com o Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 para mostrar que
e sua derivada
existem em todos os pontos, e ache
e
utilizando uma das igualdades
, ou uma das igualdades de sua versão polar
, quando:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos que as derivadas
e
existem para a função
em todos os pontos. Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann e alguns corolários relacionados. Precisamos entender como
se comporta em termos das suas partes reais e imaginárias, além de calcular as derivadas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
nas suas partes real
e imaginária
. Sabemos que
, então:
Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
Vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para verificar se
é analítica, ou seja, se as derivadas existem em todos os pontos:
Substituindo os valores:
Como ambas as igualdades são verdadeiras, as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e
é analítica em todos os pontos.
Passo 5
Agora que sabemos que
é analítica, podemos encontrar
usando uma das igualdades mencionadas:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Lembrando que
, temos:
Passo 6
Para encontrar
, basta derivar
:
Resposta
Assim, as derivadas de
são: