Calcule os limites, usando os limites notaveis se for possivel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Para isso, vamos usar alguns conhecimentos de limites notáveis e propriedades de potências. Vamos precisar entender como lidar com raízes de ordem que tende a zero e como aplicar logaritmos para resolver indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o entendimento:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
Observamos que, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
e
se aproxima de
. Então, a expressão fica no formato
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar logaritmos para simplificar.
Passo 4
Vamos chamar o limite de
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite.
Passo 5
Vamos analisar o limite:
Substituindo
, temos
e o denominador também tende a
, formando a indeterminação
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.
Passo 6
Derivando o numerador e o denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 7
Substituindo
na expressão derivada:
Então,
.
Passo 8
Para encontrar
, basta aplicar a exponencial em ambos os lados:
Resposta
O limite é
.