Calcule os limites, usando os limites notaveis se for possivel. lim x -4 raiz[x+4](x+5)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Para isso, vamos usar alguns conhecimentos de limites notáveis e propriedades de potências. Vamos precisar entender como lidar com raízes de ordem que tende a zero e como aplicar logaritmos para resolver indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o entendimento:
raiz[x+4](x+5)^2 = ( (x+5)^2 )^1x+4 = (x+5)^2x+4
Agora, nosso limite fica:
limx to -4 (x+5)^2x+4

Passo 3

Observamos que, quando se aproxima de , se aproxima de e se aproxima de . Então, a expressão fica no formato , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar logaritmos para simplificar.

Passo 4

Vamos chamar o limite de L = limx to -4 (x+5)^2x+4 :
ln L = limx to -4 2x+4 cdot ln(x+5)
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, precisamos calcular esse novo limite.

Passo 5

Vamos analisar o limite:
limx to -4 2 ln(x+5)x+4
Substituindo , temos e o denominador também tende a , formando a indeterminação . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador.

Passo 6

Derivando o numerador e o denominador:
Numerador: ddx [2 ln(x+5)] = 2x+5
Denominador: ddx [x+4] = 1
Agora, o limite fica:
limx to -4 2x+5

Passo 7

Substituindo 2-4 + 5 = 21 = 2 na expressão derivada:
Então, .

Passo 8

Para encontrar L = e^2 , basta aplicar a exponencial em ambos os lados:

Resposta

O limite é .

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