Exercício 13. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua cujo gráfico passa pelos pontos (0,-3) e (2,5). Calcule os seguintes limites, justificando sua resposta:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{5^{3 x-5}}{x f\left(x^{2}-2\right) \tan (4 x-8)}

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e que o gráfico de f passa por (0,-3) e (2,5). Preciso calcular
\lim_{x\to2}\frac{5^{3x-5}}{\,x\,f\bigl(x^2-2\bigr)\,\tan(4x-8)}.
Vamos usar a continuidade de f para avaliar as partes que não dão problema e o desenvolvimento de \tan perto de zero para lidar com a parte que vai a zero no denominador.

Passo 2

Como f é contínua e x\to2, temos
\lim_{x\to2}5^{3x-5}=5^{3\cdot2-5}=5^1=5,
\lim_{x\to2}x=2,
\lim_{x\to2}f\bigl(x^2-2\bigr)=f\bigl(2^2-2\bigr)=f(2)=5
(usando o fato de que o gráfico de f passa por (2,5)).

Passo 3

No denominador aparece \tan(4x-8). Como 4x-8\to0 quando x\to2, vale a aproximação
\tan u\sim u\quad\text{quando }u\to0.
Aqui u=4x-8=4(x-2), logo para x perto de 2
\tan(4x-8)\sim 4(x-2).

Passo 4

Substituindo essas aproximações no quociente original, obtemos
\frac{5^{3x-5}}{x\,f(x^2-2)\,\tan(4x-8)} \sim \frac{5}{\bigl(2\cdot5\bigr)\,\bigl(4(x-2)\bigr)} =\frac{5}{40\,(x-2)} =\frac{1}{8\,(x-2)}.
À medida que x\to2, esse valor cresce em módulo sem limite: diverge para +\infty se x\to2^+ e para -\infty se x\to2^-.

Resposta

O limite não existe (diverge), pois
\lim_{x\to2^+}\frac{5^{3x-5}}{x\,f(x^2-2)\,\tan(4x-8)}=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^-}\frac{5^{3x-5}}{x\,f(x^2-2)\,\tan(4x-8)}=-\infty.

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