Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas: a expressão é uma potência com base 1+3x e expoente \tfrac{1}{x}. O ponto de interesse é x\to 0. Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

Uma técnica padrão para limites de expressões da forma (\text{algo})^{\text{algo}} é usar o logaritmo natural para “trazer o expoente para frente”. Vou definir uma nova variável igual à expressão e trabalhar com seu logaritmo, porque é mais simples calcular o limite do logaritmo e depois recuperar a expressão pela função exponencial (que é contínua). Isso não resolve ainda, apenas explica a ideia que vou aplicar.

Passo 3

Defino
y=(1+3x)^{\frac{1}{x}}.
Tomo logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que \ln é uma função bem definida para base positiva; aqui 1+3x é próximo de 1 quando x\to0, então está tudo bem):
\ln y=\frac{1}{x}\ln(1+3x).
O objetivo agora é calcular
\lim_{x\to 0}\ln y=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{x}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{x} posso observar que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando x\to0 (pois \ln(1)=0). Então temos uma forma indeterminada 0/0 e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} é 0/0 e f,g são diferenciáveis perto de a (com g'(x)\neq0 perto de a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
(se o limite à direita existir). Aqui f(x)=\ln(1+3x) e g(x)=x. Calculo as derivadas:
f'(x)=\frac{3}{1+3x},\qquad g'(x)=1.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3}{1+3x}=\frac{3}{1+0}=3.
Uma observação alternativa (mais intuitiva): para pequenos u vale \ln(1+u)\approx u. Colocando u=3x \ln(1+3x)\approx 3x, e dividindo por x resulta em aproximadamente 3. Isso dá a mesma conclusão de forma menos formal.

Passo 5

Encontramos
\lim_{x\to 0}\ln y = 3.
Como a função exponencial \exp é contínua, se \ln y \to 3 então y=\exp(\ln y)\to \exp(3). Portanto
\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}=e^{3}.

Resposta

e^{3}

Exercícios relacionados