Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão é uma potência com base
e expoente
. O ponto de interesse é
. Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.
Passo 2
Uma técnica padrão para limites de expressões da forma
é usar o logaritmo natural para “trazer o expoente para frente”. Vou definir uma nova variável igual à expressão e trabalhar com seu logaritmo, porque é mais simples calcular o limite do logaritmo e depois recuperar a expressão pela função exponencial (que é contínua). Isso não resolve ainda, apenas explica a ideia que vou aplicar.
Passo 3
Defino
Tomo logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que
é uma função bem definida para base positiva; aqui
é próximo de
quando
, então está tudo bem):
O objetivo agora é calcular
Passo 4
Para calcular
posso observar que tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
(pois
). Então temos uma forma indeterminada
e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital: se
é
e
são diferenciáveis perto de
(com
perto de
), então
(se o limite à direita existir). Aqui
e
. Calculo as derivadas:
Aplicando L’Hôpital:
Uma observação alternativa (mais intuitiva): para pequenos
vale
. Colocando
dá
, e dividindo por
resulta em aproximadamente
. Isso dá a mesma conclusão de forma menos formal.
Passo 5
Encontramos
Como a função exponencial
é contínua, se
então
. Portanto