Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\operatorname{cotg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0}(1+x)^{\cot(x)}.
O conteúdo envolvido é o tratamento de limites do tipo indeterminado (1+u)^{v}, usando transformação logarítmica e séries de Taylor para aproximar \ln(1+x) e \cot(x).

Passo 2

Para resolver, definimos
L = \lim_{x \to 0}(1+x)^{\cot(x)}
e tomamos logaritmo:
\ln L = \lim_{x \to 0} \ln\bigl((1+x)^{\cot(x)}\bigr) = \lim_{x \to 0} \cot(x)\,\ln(1+x).
Assim basta achar \lim_{x\to0}\cot(x)\,\ln(1+x).

Passo 3

Expandimos em série de Taylor em torno de x=0:
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3),
\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5) \quad\Longrightarrow\quad \cot(x)=\frac{1}{\tan(x)} =\frac{1}{x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)} =\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+O(x^3).

Passo 4

Multiplicamos as expansões:
\cot(x)\,\ln(1+x) =\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+O(x^3)\Bigr) \Bigl(x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\Bigr) =1-\frac{x}{2}+O(x^2).
Logo
\lim_{x\to0}\cot(x)\,\ln(1+x)=1.

Passo 5

Retornando ao limite original, temos
L=\exp\bigl(\lim_{x\to0}\cot(x)\ln(1+x)\bigr) =\exp(1) =e.

Resposta

e

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