Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite clássico que gera o número e:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo é limites de forma indeterminada exponencial e vamos usar logaritmo natural e a Regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Definimos
y = \Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}
e, para lidar com a potência, tomamos o logaritmo natural:
\ln y = x\,\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Observamos que, quando x\to+\infty, temos \ln(1+1/x)\to0 e x\to+\infty, então escrevemos
\ln y = \frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}},
que é uma forma 0/0.

Passo 4

Aplicamos a Regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a x:
- Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{1+\tfrac{1}{x}}\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr) = -\frac{1}{x^2+x}.
- Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{x}\Bigr] = -\frac{1}{x^2}.
Logo,
\lim_{x\to+\infty}\ln y = \lim_{x\to+\infty}\frac{-\frac{1}{x^2+x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+x} =1.

Passo 5

Como \lim_{x\to+\infty}\ln y=1, concluímos que
\lim_{x\to+\infty}y =\lim_{x\to+\infty}\exp(\ln y) =\exp(1) =e.

Resposta

e

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