Resolver os limites abaixo:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 h^{2}+h-9}{h}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{h\to 0}\frac{3h^{2}+h-9}{h}.
Informações dadas:
  • A variável de aproximação é h e o ponto de interesse é h=0.
  • A expressão é uma fração algébrica cujo denominador é h.
  • Precisamos determinar o comportamento da expressão quando h se aproxima de 0 (pela direita, pela esquerda e, se existir, como limite bilateral).

Passo 2

Tentar substituição direta: avaliar a fração em h=0.
\frac{3\cdot 0^{2}+0-9}{0}=\frac{-9}{0},
o que é indefinido. Quando a substituição direta dá um número não nulo no numerador e zero no denominador, a expressão tende a “explodir” (diverge). Para decidir se diverge para +\infty ou -\infty e se os dois lados coincidem, precisamos analisar com mais cuidado — normalmente examinamos as limites laterais.

Passo 3

Simplificar a expressão (válido para h\neq0) dividindo cada termo do numerador por h:
\frac{3h^{2}+h-9}{h}=\frac{3h^{2}}{h}+\frac{h}{h}-\frac{9}{h}=3h+1-\frac{9}{h}.
Explicação curta do passo: dividir polinômios por h é uma álgebra básica; a igualdade é válida para todo h\neq0 e nos permite estudar o comportamento quando h se aproxima de 0.

Passo 4

Analisar cada parcela quando h\to0:
  • \;3h\to0 porque h tende a zero.
  • \;1 permanece 1.
  • \;-\,\dfrac{9}{h} é o termo dominante: quando o denominador tende a zero esse quociente diverge (vai para +\infty ou -\infty dependendo do sinal de h).

Passo 5

Limite pela direita ( h\to0^{+}): para h>0 pequeno tem-se -\dfrac{9}{h} muito negativo (porque dividir -9 por um positivo pequeno dá um grande negativo). Assim
3h\to0,\qquad 1\to1,\qquad -\frac{9}{h}\to -\infty,
logo a soma tende a -\infty. Portanto
\lim_{h\to0^{+}}\frac{3h^{2}+h-9}{h}=-\infty.

Passo 6

Limite pela esquerda ( h\to0^{-}): para h<0 pequeno tem-se -\dfrac{9}{h} muito positivo (porque dividir -9 por um número negativo pequeno dá um grande positivo). Assim
3h\to0,\qquad 1\to1,\qquad -\frac{9}{h}\to +\infty,
logo a soma tende a +\infty. Portanto
\lim_{h\to0^{-}}\frac{3h^{2}+h-9}{h}=+\infty.

Passo 7

Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais não coincidem (um vai para +\infty e o outro para -\infty), logo o limite bilateral não existe (não existe um número finito nem um infinito comum). Em provas, costuma-se responder que o limite não existe e, se solicitado, apresentar os limites laterais.

Resposta

Não existe.
\displaystyle \lim_{h\to0^{-}}\frac{3h^{2}+h-9}{h}=+\infty
\displaystyle \lim_{h\to0^{+}}\frac{3h^{2}+h-9}{h}=-\infty

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