Resolver os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A variável de aproximação é
e o ponto de interesse é . - A expressão é uma fração algébrica cujo denominador é
. - Precisamos determinar o comportamento da expressão quando
se aproxima de (pela direita, pela esquerda e, se existir, como limite bilateral).
Passo 2
Tentar substituição direta: avaliar a fração em
.
o que é indefinido. Quando a substituição direta dá um número não nulo no numerador e zero no denominador, a expressão tende a “explodir” (diverge). Para decidir se diverge para
ou
e se os dois lados coincidem, precisamos analisar com mais cuidado — normalmente examinamos as limites laterais.
Passo 3
Simplificar a expressão (válido para
) dividindo cada termo do numerador por
:
Explicação curta do passo: dividir polinômios por
é uma álgebra básica; a igualdade é válida para todo
e nos permite estudar o comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 4
Analisar cada parcela quando
:
-
porque tende a zero. -
permanece . -
é o termo dominante: quando o denominador tende a zero esse quociente diverge (vai para ou dependendo do sinal de ).
Passo 5
Limite pela direita (
): para
pequeno tem-se
muito negativo (porque dividir
por um positivo pequeno dá um grande negativo). Assim
logo a soma tende a
. Portanto
Passo 6
Limite pela esquerda (
): para
pequeno tem-se
muito positivo (porque dividir
por um número negativo pequeno dá um grande positivo). Assim
logo a soma tende a
. Portanto
Passo 7
Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais não coincidem (um vai para
e o outro para
), logo o limite bilateral não existe (não existe um número finito nem um infinito comum). Em provas, costuma-se responder que o limite não existe e, se solicitado, apresentar os limites laterais.
Resposta
Não existe.