Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas/úteis que já temos (valores exatos que vêm do enunciado ou são imediatos):
-
. -
.
O que precisamos encontrar: o valor numérico do limite quando
tende a
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: entender o comportamento de
quando
. Mostrarei de forma direta que
Justificação (argumento simples e rigoroso): considere a função
. Tem-se
e
porque
. Assim
é crescente e, para
,
, ou seja
. Para
um raciocínio análogo dá
. Combinando obtemos
para todo
. Como
, pela desigualdade em módulo segue que
.
Passo 3
Da conclusão anterior segue que a expressão dentro do logaritmo satisfaz
Ou seja,
tende para
quando
.
Passo 4
Agora, usar propriedade da função logaritmo natural:
está definida e é contínua para todo
. Em particular, é contínua no ponto
. A continuidade significa que, se
então
. Aplicando isso à família
(que tende a
quando
), obtemos
Passo 5
Calculando
:
Portanto o limite procurado é
.
Observação didática extra (modo alternativo muito usado em provas): uma outra linha mostra a mesma conclusão escrevendo
Sabendo que
e que
, o produto tende a
. Dá o mesmo resultado e costuma ser útil quando se precisa obter uma expansão de primeira ordem.