Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \ln (1+\operatorname{sen} x)=

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 0} \ln\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr).
Informações dadas/úteis que já temos (valores exatos que vêm do enunciado ou são imediatos):
  • \operatorname{sen}0=0.
  • \ln 1 = 0.
O que precisamos encontrar: o valor numérico do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Primeiro passo técnico: entender o comportamento de \operatorname{sen}x quando x\to 0. Mostrarei de forma direta que
\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x = 0.
Justificação (argumento simples e rigoroso): considere a função h(x)=x-\operatorname{sen}x. Tem-se h(0)=0 e
h'(x)=1-\cos x \ge 0\quad\text{para todo }x,
porque \cos x\le 1. Assim h é crescente e, para x\ge 0, h(x)\ge h(0)=0, ou seja \operatorname{sen}x\le x. Para x\le 0 um raciocínio análogo dá \operatorname{sen}x\ge x. Combinando obtemos |\operatorname{sen}x|\le |x| para todo x. Como \lim_{x\to 0}|x|=0, pela desigualdade em módulo segue que \lim_{x\to 0}\operatorname{sen}x=0.

Passo 3

Da conclusão anterior segue que a expressão dentro do logaritmo satisfaz
\lim_{x\to 0}\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)=1+0=1.
Ou seja, 1+\operatorname{sen}x tende para 1 quando x\to 0.

Passo 4

Agora, usar propriedade da função logaritmo natural: \ln t está definida e é contínua para todo t>0. Em particular, é contínua no ponto t=1. A continuidade significa que, se t_n\to 1 então \ln t_n\to \ln 1. Aplicando isso à família t(x)=1+\operatorname{sen}x (que tende a 1 quando x\to 0), obtemos
\lim_{x\to 0}\ln\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)=\ln\!\left(\lim_{x\to 0}\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)\right)=\ln 1.

Passo 5

Calculando \ln 1:
\ln 1 = 0.
Portanto o limite procurado é 0.
Observação didática extra (modo alternativo muito usado em provas): uma outra linha mostra a mesma conclusão escrevendo
\ln(1+\operatorname{sen}x)=\operatorname{sen}x\cdot\frac{\ln(1+\operatorname{sen}x)}{\operatorname{sen}x}.
Sabendo que \operatorname{sen}x\to 0 e que \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1, o produto tende a 0\cdot 1=0. Dá o mesmo resultado e costuma ser útil quando se precisa obter uma expansão de primeira ordem.

Resposta

0

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