Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^{2}-5 x+2}{3 x-2}=

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to 1}\frac{3x^{2}-5x+2}{3x-2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional cujo numerador é 3x^{2}-5x+2 e o denominador é 3x-2.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x se aproxima de 1?

Passo 2

Teste de substituição direta (verificar se dá para simplesmente avaliar a expressão em x=1):
Calcular o numerador em x=1:
3\cdot1^{2}-5\cdot1+2 = 3-5+2 = 0.
Calcular o denominador em x=1:
3\cdot1-2 = 3-2 = 1.
Portanto, ao substituir, obtém-se a forma \dfrac{0}{1}. Como o denominador é diferente de zero, essa forma é um valor determindado (não é indeterminação 0/0). Pela regra de substituição para limites de funções racionais (explicada no próximo passo), podemos concluir que o limite é igual àquele quociente.

Passo 3

Explicação teórica curta e didática (por que a substituição direta vale aqui):
  • Polinômios são funções contínuas em todo ponto real; isso significa que para um polinômio p(x) vale \lim_{x\to a}p(x)=p(a).
  • Uma função racional r(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} (com p e q polinômios) é contínua em todo ponto a tal que q(a)\neq 0. Nesses pontos vale \lim_{x\to a}r(x)=r(a).
    No nosso caso p(x)=3x^{2}-5x+2 e q(x)=3x-2 são polinômios e q(1)=1\neq 0. Logo a substituição direta é válida e o limite é o valor da expressão em x=1, isto é, \dfrac{0}{1}.

Passo 4

Método alternativo (algebra) que reforça a intuição e é útil quando aparece indeterminação:
Fatorar o numerador para ver se há cancelamento:
3x^{2}-5x+2 = (3x-2)(x-1).
Isso pode ser verificado multiplicando (3x-2)(x-1)=3x^{2}-3x-2x+2=3x^{2}-5x+2.
Assim, para x\neq \dfrac{2}{3} a fração simplifica para
\frac{3x^{2}-5x+2}{3x-2}=\frac{(3x-2)(x-1)}{3x-2}=x-1.
Como os dois lados são iguais em todo um entorno de x=1 (exceto possivelmente em pontos onde o denominador originalmente seria zero, que aqui não afeta x=1), vale
\lim_{x\to 1}\frac{3x^{2}-5x+2}{3x-2}=\lim_{x\to 1}(x-1).
Agora aplicar substituição direta em \lim_{x\to 1}(x-1): substituindo x=1 obtém-se 1-1.

Passo 5

Conclusão lógica: pelas razões dos passos anteriores (substituição direta válida porque o denominador em x=1 é diferente de zero, e pela simplificação que leva a x-1), o limite deve ser o número obtido ao avaliar a expressão reduzida em x=1.

Resposta

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