Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional cujo numerador é
e o denominador é . - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandose aproxima de ?
Passo 2
Teste de substituição direta (verificar se dá para simplesmente avaliar a expressão em
):
Calcular o numerador em :
Calcular o numerador em
Calcular o denominador em
:
Portanto, ao substituir, obtém-se a forma
. Como o denominador é diferente de zero, essa forma é um valor determindado (não é indeterminação
). Pela regra de substituição para limites de funções racionais (explicada no próximo passo), podemos concluir que o limite é igual àquele quociente.
Passo 3
Explicação teórica curta e didática (por que a substituição direta vale aqui):
- Polinômios são funções contínuas em todo ponto real; isso significa que para um polinômio
vale . - Uma função racional
(com e polinômios) é contínua em todo ponto tal que . Nesses pontos vale .
No nosso casoe são polinômios e . Logo a substituição direta é válida e o limite é o valor da expressão em , isto é, .
Passo 4
Método alternativo (algebra) que reforça a intuição e é útil quando aparece indeterminação:
Fatorar o numerador para ver se há cancelamento:
Fatorar o numerador para ver se há cancelamento:
Isso pode ser verificado multiplicando
.
Assim, para a fração simplifica para
Assim, para
Como os dois lados são iguais em todo um entorno de
(exceto possivelmente em pontos onde o denominador originalmente seria zero, que aqui não afeta
), vale
Agora aplicar substituição direta em
: substituindo
obtém-se
.
Passo 5
Conclusão lógica: pelas razões dos passos anteriores (substituição direta válida porque o denominador em
é diferente de zero, e pela simplificação que leva a
), o limite deve ser o número obtido ao avaliar a expressão reduzida em
.