Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-2 x^{2}-2 x+3}{6 x^{2}-5 x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{-2x^{2}-2x+3}{6x^{2}-5x}.
Informações fornecidas:
  • A função a considerar é a razão entre dois polinômios: numerador -2x^{2}-2x+3 e denominador 6x^{2}-5x.
  • O ponto de interesse é x=1.
    A partir daqui vamos verificar se é possível aplicar substituição direta ou se é preciso manipular a expressão.

Passo 2

Calcular o valor do numerador em x=1 por substituição direta:
-2(1)^{2}-2(1)+3 = -2 - 2 + 3.
Fazendo as somas:
-2 - 2 + 3 = -1.
Logo, o numerador em x=1 vale -1.

Passo 3

Calcular o valor do denominador em x=1 por substituição direta:
6(1)^{2}-5(1) = 6 - 5 = 1.
Portanto, o denominador em x=1 vale 1.

Passo 4

Explicar por que a substituição direta é válida:
  • Polinômios são funções contínuas em todo ponto real; isso significa que o limite quando x \to a do polinômio é igual ao valor do polinômio em a.
  • Uma razão de polinômios (função racional) é contínua em pontos onde o denominador não é zero.
  • Teorema prático: se f e g são contínuas em a e g(a)\neq 0, então \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(a)}{g(a)}.
    Aqui calculamos f(1)=-1 e g(1)=1 e g(1)\neq 0, logo podemos aplicar o teorema e concluir que o limite é o quociente desses valores.

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior, o limite é o quociente do numerador pelo denominador avaliados em x=1, isto é:
\frac{-1}{1}.

Resposta

-1

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