Determine a derivada de:
F(x)=e^{x^{4}} \operatorname{SeN}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(x)=e^{x^{4}}\operatorname{sen}(3x).
Aqui vamos usar a regra do produto (pois temos um produto de duas funções de x) e a regra da cadeia (para derivar e^{x^4} e \operatorname{sen}(3x)).

Passo 2

Separe as duas funções em
f(x)=e^{x^{4}} \quad\text{e}\quad g(x)=\operatorname{sen}(3x).
Pela regra do produto,
F'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).

Passo 3

Derivando f(x)=e^{x^{4}} pela regra da cadeia:
a derivada externa de e^{u} é e^{u} e a interna de u=x^4 é 4x^3. Logo,
f'(x)=e^{x^4}\cdot4x^3.

Passo 4

Derivando g(x)=\operatorname{sen}(3x) pela regra da cadeia:
a derivada externa de \operatorname{sen}(v) é \cos(v) e a interna de v=3x é 3. Assim,
g'(x)=\cos(3x)\cdot3.

Passo 5

Substituindo em
F'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)
temos
F'(x)=\bigl(e^{x^4}\cdot4x^3\bigr)\operatorname{sen}(3x) +\;e^{x^4}\,\bigl(3\cos(3x)\bigr).

Passo 6

Fatorando e^{x^4} em evidência e arrumando,
F'(x) =e^{x^4}\Bigl(4x^3\operatorname{sen}(3x)+3\cos(3x)\Bigr).

Resposta

F'(x)=e^{x^4}\bigl(4x^3\operatorname{sen}(3x)+3\cos(3x)\bigr).

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