Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{3}\left(\frac{x}{2}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{3}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{x}.
  • O ponto onde avaliamos o limite é x\to 0.
  • Pressupõe-se que as funções trigonométricas estão com o argumento em radianos (importante para limites envolvendo \sin t/t).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar uma substituição simples e a propriedade clássica do limite \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Essa propriedade é básica e muito útil para limites envolvendo senos pequenos. Primeiro faremos a substituição t=\dfrac{x}{2} (assim fica mais claro o comportamento quando o argumento do seno vai a zero).
Lembrete crucial e demonstração curta da propriedade usada: para qualquer variável u com u\to 0 vale
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicação (passo a passo e bem didática): por geometria do círculo unitário (ou usando o teorema do confronto):
  • Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} tem-se a desigualdade \sin u < u < \tan u.
  • Dividindo tudo por \sin u (positivo nesse intervalo) obtém-se 1 < \dfrac{u}{\sin u} < \dfrac{1}{\cos u}.
  • Invertendo essa desigualdade (mantendo as direções corretas) resulta em \cos u < \dfrac{\sin u}{u} < 1.
  • Como \lim_{u\to 0}\cos u = 1, pelo teorema do confronto (squeeze) segue que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1.
    Para u próximo de 0 e negativo, a simetria ímpar de \sin garante o mesmo resultado. Portanto a propriedade vale.

Passo 3

Aplicando a substituição t=\dfrac{x}{2}. Quando x\to 0 tem-se t\to 0. A expressão do limite fica
\frac{\sin^{3}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x}=\frac{\sin^{3}t}{2t}.
Agora manipulamos algebricamente para usar o limite conhecido:
\frac{\sin^{3}t}{2t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin t}{t}\cdot (\sin t)^{2}.
Isso é apenas separar um fator \sin t e agrupar convenientemente.

Passo 4

Avaliar o limite do produto usando regras básicas de limites (produto de limites, limite de constante, continuidade):
  • A constante \dfrac{1}{2} tem limite \dfrac{1}{2}.
  • Pelo passo 3, \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
  • Como \lim_{t\to 0}\sin t=0, segue que \lim_{t\to 0}(\sin t)^{2}=0^{2}=0.
    Aplicando o limite ao produto:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin^{3}t}{2t}=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 0 = 0.
Portanto o limite pedido é 0.
Observação alternativa (curta): pode-se também usar a aproximação em série para ângulos pequenos \sin u = u + o(u). Então \sin^{3}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\approx \left(\tfrac{x}{2}\right)^{3} e \dfrac{(\tfrac{x}{2})^{3}}{x}=\dfrac{x^{2}}{8}\to 0. Dá a mesma conclusão.

Resposta

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