Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O ponto onde avaliamos o limite é
. - Pressupõe-se que as funções trigonométricas estão com o argumento em radianos (importante para limites envolvendo
).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar uma substituição simples e a propriedade clássica do limite
. Essa propriedade é básica e muito útil para limites envolvendo senos pequenos. Primeiro faremos a substituição
(assim fica mais claro o comportamento quando o argumento do seno vai a zero).
Lembrete crucial e demonstração curta da propriedade usada: para qualquer variável com
vale
Lembrete crucial e demonstração curta da propriedade usada: para qualquer variável
Explicação (passo a passo e bem didática): por geometria do círculo unitário (ou usando o teorema do confronto):
- Para
tem-se a desigualdade . - Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) obtém-se . - Invertendo essa desigualdade (mantendo as direções corretas) resulta em
. - Como
, pelo teorema do confronto (squeeze) segue que .
Parapróximo de e negativo, a simetria ímpar de garante o mesmo resultado. Portanto a propriedade vale.
Passo 3
Aplicando a substituição
. Quando
tem-se
. A expressão do limite fica
Agora manipulamos algebricamente para usar o limite conhecido:
Isso é apenas separar um fator
e agrupar convenientemente.
Passo 4
Avaliar o limite do produto usando regras básicas de limites (produto de limites, limite de constante, continuidade):
- A constante
tem limite . - Pelo passo 3,
. - Como
, segue que .
Aplicando o limite ao produto:
Portanto o limite pedido é
.
Observação alternativa (curta): pode-se também usar a aproximação em série para ângulos pequenos . Então
e
. Dá a mesma conclusão.
Observação alternativa (curta): pode-se também usar a aproximação em série para ângulos pequenos