Determine a solução geral das equações abaixo:
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg}(\mathrm{t}), \quad 0<\mathrm{t}<\pi / 2;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + y = \tan(t),
em 0<t<\tfrac{\pi}{2}. O conteúdo aqui é resolução de EDO linear via soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular; escolhemos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
y'' + y = 0.
As raízes do polinômio caractístico r^2+1=0 são r=\pm i. Logo as soluções fundamentais são
y_1(t)=\cos t, \qquad y_2(t)=\sin t,
e a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t.

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(t)= \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\,\sin t & \cos t \end{vmatrix} =\cos^2t+\sin^2t=1.
As fórmulas dão
u_1'(t)=-\frac{y_2(t)\,\tan t}{W(t)}=-\sin t\;\tan t=-\frac{\sin^2t}{\cos t},
u_2'(t)=\frac{y_1(t)\,\tan t}{W(t)}=\cos t\;\tan t=\sin t.
Integramos:
u_1(t)=-\int \frac{\sin^2t}{\cos t}\,dt =-\int\bigl(\operatorname{sec} t-\cos t\bigr)\,dt =-\bigl(\ln\!\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|- \sin t\bigr) =-\ln\!\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr)+\sin t,
u_2(t)=\int \sin t\,dt=-\cos t.

Passo 4

A solução particular é
y_p(t)=u_1(t)\,y_1(t)+u_2(t)\,y_2(t) =\bigl(-\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)+\sin t\bigr)\cos t+(-\cos t)\sin t.
Ao expandir, os termos em \sin t\cos t se anulam, restando
y_p(t)=-\cos t\;\ln\!\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr).
Então a solução geral da equação não homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1\cos t + C_2\sin t -\cos t\;\ln\!\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr).

Resposta

\boxed{y(t)=C_1\cos t + C_2\sin t - \cos t \,\ln\!\bigl(\operatorname{sec} t + \tan t\bigr),\quad 0<t<\tfrac{\pi}{2}.}

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