Determine a solução geral das equações abaixo: y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg}(\mathrm{t}), \quad 0<\mathrm{t}<\pi / 2;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + y = \tan(t),
em 0<t<\tfrac{\pi}{2}. O conteúdo aqui é resolução de EDO linear via soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular; escolhemos o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
y'' + y = 0.
As raízes do polinômio caractístico r^2+1=0 são r=\pm i. Logo as soluções fundamentais são
y_1(t)=\cos t, \qquad y_2(t)=\sin t,
e a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t.
Passo 3
Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(t)= \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\,\sin t & \cos t \end{vmatrix} =\cos^2t+\sin^2t=1.