Exercício 5: Considere a função f definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x & \text { se } x \geq 2 \\\ \frac{x^{2}}{2} & \text { se } x<2 \end{array} .\right.
Calcule \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x). A função possui limite quando x tende a 2 ? Qual é este limite?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x, & x\ge2,\\\ \dfrac{x^2}{2}, & x<2, \end{cases}
e pede os limites laterais em x=2 e, a partir disso, verificar se o limite em 2 existe e qual é seu valor. Vamos usar o fato de que, para limites laterais em funções definidas por partes, basta aplicar a expressão correspondente ao lado de que nos aproximamos.

Passo 2

Para \displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x) olhamos para x>2, onde
f(x)=x.
Como essa parte é contínua, basta substituir x=2:
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}x=2.

Passo 3

Para \displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x) consideramos x<2, onde
f(x)=\frac{x^2}{2}.
Também é contínua nesse trecho, então substituímos x=2:
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}\frac{x^2}{2} =\frac{2^2}{2} =2.

Passo 4

Como
\lim_{x\to2^+}f(x)=2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^-}f(x)=2,
os limites laterais coincidem. Logo, o limite em x=2 existe e vale o mesmo valor.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)=2.
Sim, \displaystyle \lim_{x\to2}f(x) existe e é 2.

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