Calcule os limites por substituição imediata.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-3 x^{2}+6 x-4}{x^{2}+8 x-5}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-3x^{2}+6x-4}{x^{2}+8x-5}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{3}-3x^{2}+6x-4.
  • Denominador: x^{2}+8x-5.
  • Ponto de interesse: x\to 2.

Passo 2

Ideia principal (substituição imediata): quando temos uma função dada por quociente de polinômios (ou soma/produto de polinômios), essas funções são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. Isso significa que, se ao substituir x=2 o denominador não for zero, o limite é simplesmente o valor da função naquele ponto (ou seja, basta calcular o numerador e o denominador em x=2 e dividir). Se a substituição resultar em uma forma indeterminada como \tfrac{0}{0}, aí sim precisamos usar outras técnicas (fatoração, cancelamento, regra de L’Hôpital, etc.). Vou aplicar a verificação aqui: calcular separadamente numerador e denominador em x=2.

Passo 3

Calcular o numerador em x=2. Substituindo x=2 em x^{3}-3x^{2}+6x-4:
2^{3}-3\cdot 2^{2}+6\cdot 2-4.
Agora calcular passo a passo:
2^{3}=8,\qquad 3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12,\qquad 6\cdot 2=12.
Portanto
8-12+12-4.
Realizando as operações da esquerda para a direita:
8-12=-4,\qquad -4+12=8,\qquad 8-4=4.
Logo o numerador avaliado em 2 é 4.

Passo 4

Calcular o denominador em x=2. Substituindo x=2 em x^{2}+8x-5:
2^{2}+8\cdot 2-5.
Calcular passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 8\cdot 2=16.
Portanto
4+16-5.
Realizando as operações:
4+16=20,\qquad 20-5=15.
Logo o denominador avaliado em 2 é 15, que é diferente de zero. Como o denominador não é zero, a substituição imediata é válida.

Passo 5

Aplicando a substituição imediata: o limite é a razão entre os valores obtidos para numerador e denominador em x=2. Temos numerador =4 e denominador =15, portanto o valor do quociente é \dfrac{4}{15}.

Passo 6

Observação didática extra (para a prova): o procedimento usado aqui vale sempre que o limite envolve uma função contínua no ponto de interesse e o denominador não for zero. Se ao substituir obtiver \dfrac{0}{0} (indeterminação), técnicas úteis são:
  • fatorar e cancelar fatores comuns entre numerador e denominador;
  • usar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) quando aplicável;
  • ou simplificar algébrica/identidades trigonométricas, dependendo do caso.
    Exemplo rápido e simples de indeterminação e resolução por fatoração:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2.

Resposta

\dfrac{4}{15}

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