Calcule os limites por substituição imediata.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Ponto de interesse:
.
Passo 2
Ideia principal (substituição imediata): quando temos uma função dada por quociente de polinômios (ou soma/produto de polinômios), essas funções são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. Isso significa que, se ao substituir
o denominador não for zero, o limite é simplesmente o valor da função naquele ponto (ou seja, basta calcular o numerador e o denominador em
e dividir). Se a substituição resultar em uma forma indeterminada como
, aí sim precisamos usar outras técnicas (fatoração, cancelamento, regra de L’Hôpital, etc.). Vou aplicar a verificação aqui: calcular separadamente numerador e denominador em
.
Passo 3
Calcular o numerador em
. Substituindo
em
:
Agora calcular passo a passo:
Portanto
Realizando as operações da esquerda para a direita:
Logo o numerador avaliado em
é
.
Passo 4
Calcular o denominador em
. Substituindo
em
:
Calcular passo a passo:
Portanto
Realizando as operações:
Logo o denominador avaliado em
é
, que é diferente de zero. Como o denominador não é zero, a substituição imediata é válida.
Passo 5
Aplicando a substituição imediata: o limite é a razão entre os valores obtidos para numerador e denominador em
. Temos numerador
e denominador
, portanto o valor do quociente é
.
Passo 6
Observação didática extra (para a prova): o procedimento usado aqui vale sempre que o limite envolve uma função contínua no ponto de interesse e o denominador não for zero. Se ao substituir obtiver
(indeterminação), técnicas úteis são:
- fatorar e cancelar fatores comuns entre numerador e denominador;
- usar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) quando aplicável;
- ou simplificar algébrica/identidades trigonométricas, dependendo do caso.
Exemplo rápido e simples de indeterminação e resolução por fatoração: