Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-\sqrt{x}}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{1-\sqrt{x}}{x^{2}-3x+2}.
Isso é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0}, pois se x=1 tanto o numerador quanto o denominador valem zero. Vamos usar técnicas de manipulação algébrica (racionalização) para resolver.

Passo 2

Observe que o denominador fatoriza-se como
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Então podemos reescrever a fração como
\frac{1-\sqrt{x}}{(x-1)(x-2)}.

Passo 3

Para eliminar a raiz no numerador, racionalizamos multiplicando numerador e denominador por 1+\sqrt{x}:
\frac{1-\sqrt{x}}{(x-1)(x-2)}\cdot\frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} =\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(x-1)(x-2)(1+\sqrt{x})}.

Passo 4

No numerador temos
(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})=1 - x=-(x-1),
portanto a expressão torna-se
\frac{-(x-1)}{(x-1)(x-2)(1+\sqrt{x})} =-\frac{1}{(x-2)(1+\sqrt{x})},
já cancelando o fator (x-1).

Passo 5

Agora basta fazer x\to1 na forma simplificada:
-\frac{1}{(1-2)\bigl(1+\sqrt{1}\bigr)} =-\frac{1}{(-1)\cdot(1+1)} =-\frac{1}{-2} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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