Use PBO para provar o seguinte: se
é não vazio e limitado superiormente, então
tem um maior elemento.
Passo 1
O enunciado nos diz que
é não vazio e existe um inteiro
tal que todo
satisfaz
. Precisamos provar que então existe um maior elemento
(isto é,
para todo
). O conteúdo chave é o Princípio da Boa Ordenação (PBO) para
: “toda parte não vazia de
tem um menor elemento”. Vamos reduzir o problema em
a um em
e aplicar o PBO.
Passo 2
Como
é limitado superiormente, existe
com
Definimos o conjunto
Passo 3
Para cada
temos
, logo
. Como
é não vazio, também
é não vazio. Assim, pelas hipóteses do PBO,
tem um menor elemento. Chamemos esse menor elemento de
Passo 4
Pela definição de
, existe algum
tal que
Queremos mostrar que esse
é, de fato, o maior elemento de
.
Passo 5
Seja qualquer
. Então
, e como
é o mínimo de
, vale
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Isso prova que
é maior ou igual a todo elemento de
. Logo,
é o maior elemento de
.
Resposta
Acabamos de construir
tal que
para todo
. Portanto, qualquer subconjunto não vazio de
que seja limitado superiormente tem um maior elemento.