Use PBO para provar o seguinte: se S \subset \mathbb{Z} é não vazio e limitado superiormente, então S tem um maior elemento.

Passo 1

O enunciado nos diz que S\subset\mathbb{Z} é não vazio e existe um inteiro b tal que todo s\in S satisfaz s\le b. Precisamos provar que então existe um maior elemento t\in S (isto é, t\ge s para todo s\in S). O conteúdo chave é o Princípio da Boa Ordenação (PBO) para \mathbb{N}: “toda parte não vazia de \mathbb{N} tem um menor elemento”. Vamos reduzir o problema em \mathbb{Z} a um em \mathbb{N} e aplicar o PBO.

Passo 2

Como S é limitado superiormente, existe b\in\mathbb{Z} com
s \le b \quad\text{para todo }s\in S.
Definimos o conjunto
T = \{\,b - s : s\in S\}.

Passo 3

Para cada s\in S temos b - s \ge 0, logo T \subseteq \mathbb{N}\cup\{0\}. Como S é não vazio, também T é não vazio. Assim, pelas hipóteses do PBO, T tem um menor elemento. Chamemos esse menor elemento de
m = \min T.

Passo 4

Pela definição de T, existe algum t\in S tal que
m = b - t.
Queremos mostrar que esse t é, de fato, o maior elemento de S.

Passo 5

Seja qualquer s\in S. Então b - s\in T, e como m é o mínimo de T, vale
b - s \;\ge\; m = b - t.
Subtraindo b dos dois lados obtemos
-s \;\ge\;-t \quad\Longrightarrow\quad s \;\le\; t.
Isso prova que t é maior ou igual a todo elemento de S. Logo, t é o maior elemento de S.

Resposta

Acabamos de construir t\in S tal que s\le t para todo s\in S. Portanto, qualquer subconjunto não vazio de \mathbb{Z} que seja limitado superiormente tem um maior elemento.

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