Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}.
Este tipo de limite envolve termos que crescem sem limite no infinito e raízes quadradas. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo termo dominante, que aqui é \sqrt{x}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por \sqrt{x}:
\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle \sqrt{x-2}\,/\,\sqrt{x}}{\displaystyle (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})/\,\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{1-\tfrac{2}{x}}}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} + 1}.

Passo 3

Agora tomamos o limite x\to\infty. Como \tfrac{2}{x}\to0 e \tfrac{1}{x}\to0, temos
\sqrt{1-\tfrac{2}{x}}\;\longrightarrow\;\sqrt{1}=1, \quad \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}+1\;\longrightarrow\;1+1=2.
Logo o quociente tende a
\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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