Defina o que é um subconjunto limitado superiormente de números reais. Defina o que é cota superior e o que é maior elemento de um conjunto.

Passo 1

O enunciado pede três definições em ℝ: (1) o que significa um subconjunto ser limitado superiormente, (2) o que é uma cota superior de um conjunto e (3) o que é o maior elemento de um conjunto.

Passo 2

Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R} é dito limitado superiormente se existe um número real M que domina todos os elementos de S. Em outras palavras,
\exists M\in\mathbb{R}\quad\text{tal que}\quad\forall x\in S,\;x\le M.

Passo 3

Um número real M é chamado de cota superior (ou majorante) de S\subseteq\mathbb{R} se, para todo elemento de S, vale
\forall x\in S,\;x\le M.
Ou seja, M é um limite acima de todos os x\in S.

Passo 4

Um elemento m de S\subseteq\mathbb{R} é o maior elemento (ou máximo) de S se ele pertence ao conjunto e domina todos os outros elementos em S:
m\in S \quad\text{e}\quad \forall x\in S,\;x\le m.

Resposta

Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R} é limitado superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que \forall x\in S,\,x\le M.
Uma cota superior de S é qualquer M\in\mathbb{R} que satisfaz \forall x\in S,\,x\le M.
O maior elemento (ou máximo) de S é um m\in S tal que \forall x\in S,\,x\le m.

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