Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x^{2}+2 \operatorname{sen}^{2} x}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{5x^{2}+2\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x}.
O conteúdo usado será a decomposição de frações e a conhecida equivalência
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 2

Reescrevendo a fração em dois termos, temos
\frac{5x^{2}+2\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x} =\frac{5x^{2}}{x\,\operatorname{sen} x}+\frac{2\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x}.

Passo 3

Em cada parcela simplificamos:
\frac{5x^{2}}{x\,\operatorname{sen} x} =5\;\frac{x}{\operatorname{sen} x}, \qquad \frac{2\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x} =2\;\frac{\operatorname{sen} x}{x}.

Passo 4

Ao tomar o limite, usamos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}=1.
Logo
\lim_{x\to0}5\;\frac{x}{\operatorname{sen} x} =5\cdot1=5, \qquad \lim_{x\to0}2\;\frac{\operatorname{sen} x}{x} =2\cdot1=2
e, somando as parcelas, obtemos 5+2=7.

Resposta

7

Exercícios relacionados