Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

Queremos calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-3x+2}.
Perceba que, ao substituir x=1, obtemos uma forma indeterminada do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar racionalização do numerador.

Passo 2

Substituindo diretamente x=1:
\frac{\sqrt{1}-1}{1^{2}-3\cdot1+2} =\frac{1-1}{1-3+2} =\frac{0}{0},
confirmando a indeterminação e justificando a racionalização.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, \sqrt{x}+1:
\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-3x+2}\times\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x^{2}-3x+2)(\sqrt{x}+1)} =\frac{x-1}{(x^{2}-3x+2)(\sqrt{x}+1)}.

Passo 4

Fatoramos o denominador:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Então
\frac{x-1}{(x-1)(x-2)(\sqrt{x}+1)} =\frac{1}{(x-2)(\sqrt{x}+1)}, \quad x\neq1.

Passo 5

Agora o limite fica
\lim_{x\to1}\frac{1}{(x-2)(\sqrt{x}+1)} =\frac{1}{(1-2)(\sqrt{1}+1)} =\frac{1}{(-1)\cdot2} =-\frac12.

Resposta

-\tfrac12

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