Por meio da fórmula de redução de
, verifique que
Aplicando (3), deduza
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para usar integração por partes no integral
para mostrar que, nos limites de
a
, vale a relação de redução
Em seguida, devemos aplicar essa fórmula recursivamente para os casos
e
.
Passo 2
Começamos com a integração por partes para o integral de
a
:
escolha
escolha
Então
e
. Assim
Como
e
, o termo de fronteira anula. Além disso
, mas só precisamos isolar
, obtendo
Reagrupando, vem
Passo 3
Para
(ímpar), defina
Pela redução,
Como
ficamos com
Passo 4
Para
(par), defina
Aplicando a redução
vezes:
E
logo
Resposta
a)
.
b)