Denote
.
a) mostre que
.
b) Por meio dos itens a) e b) do exercício
, mostre que
c) usando a) e b), conclua que
e verifique o limite
d) Por fim, conclua
conhecido como produto de Wallis.
a) mostre que
b) Por meio dos itens a) e b) do exercício
Passo 1
O enunciado define
e pede:
– (a) mostrar que para todo
– (a) mostrar que para todo
– (b) usar integração por partes para obter
– (c) deduzir
– (d) a partir daí concluir o produto de Wallis
Vamos usar propriedades de funções em
, integração por partes e o Teorema do Confronto.
Passo 2
Para
temos
. Elevando à potência maior diminui o valor, isto é, para todo
Integrando ambos os lados de
a
(e lembrando que o integrando é não-negativo) obtém-se
que era o que queríamos em (a).
Passo 3
Vamos obter a recorrência de
por integração por partes. Tome
então
Logo
O termo de fronteira vale zero em
e
. Como
,
Reorganizando,
Para
temos
como pedido em (b).
Passo 4
Dividindo a desigualdade do Passo 2 por
e usando o resultado do Passo 3, obtemos
Como
, pelo Teorema do Confronto segue
que era o item (c).
Passo 5
Para o produto de Wallis precisamos valores explícitos. Do passo da recorrência e dos valores iniciais
segue por indução
Assim
Como pelo Passo 4 esse quociente tende a 1, concluímos
Também reescrevendo o produto em fatores vizinhos, chega-se à forma
Resposta
O produto de Wallis converge para
.