Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 x}{(x-1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to1^{+}}\frac{2x}{(x-1)^{3}}.
O conteúdo aqui é análise de limites em que o denominador tende a zero gerando possível divergência. Vamos estudar o comportamento do numerador e do denominador separadamente.

Passo 2

Para x\to1^{+}, o numerador 2x é contínuo, logo
2x\to2\quad\text{quando }x\to1^{+}.

Passo 3

O denominador é (x-1)^{3}. Para x>1 e muito próximo de 1, temos x-1>0 pequeno, e elevando ao cubo (expoente ímpar) continua positivo. Assim
(x-1)^{3}\to0^{+}\quad\text{quando }x\to1^{+}.

Passo 4

Como o numerador tende a 2 (valor finito e positivo) e o denominador tende a 0^{+}, a fração cresce sem limite, isto é, diverge para +\infty.

Resposta

\lim_{x\to1^{+}}\frac{2x}{(x-1)^{3}}=+\infty.

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