Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{8 x}-1}{\operatorname{sen} 6 x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{e^{8x}-1}{\operatorname{sen} 6x}.
Estamos diante de uma indeterminação do tipo 0/0. O conteúdo necessário é conhecer as equivalências fundamentais \displaystyle e^{u}-1\sim u e \displaystyle \operatorname{sen} v\sim v quando u,v\to0, ou então aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada:
quando x\to0, temos e^{8x}-1\to e^0-1=0 e \sen6x\to\sen0=0, logo é 0/0. Podemos usar as equivalências diretas:
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1, \qquad \lim_{v\to0}\frac{\operatorname{sen} v}{v}=1.

Passo 3

Fazemos a decomposição
\frac{e^{8x}-1}{\sen6x} = \frac{e^{8x}-1}{8x} \;\times\; \frac{8x}{6x} \;\times\; \frac{6x}{\sen6x}.

Passo 4

Agora avaliamos cada fator no limite x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{e^{8x}-1}{8x}=1, \quad \lim_{x\to0}\frac{8x}{6x}=\frac{8}{6}, \quad \lim_{x\to0}\frac{6x}{\sen6x}=1.
Multiplicando, resulta
\lim_{x\to0}\frac{e^{8x}-1}{\sen6x} =1\cdot\frac{8}{6}\cdot1 =\frac{8}{6} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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