Exercício 3. Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{2}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)
O conteúdo principal é limites de funções oscilantes multiplicadas por potências de x. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), já que \cos(2/x) oscila mas é limitada.

Passo 2

Sabemos que, para todo t\in\mathbb{R},
-1 \le \cos(t) \le 1.
Fazendo t = 2/x, manteremos essa desigualdade:
-1 \le \cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) \le 1.

Passo 3

Como x^{4}\ge 0 para todo x, podemos multiplicar TERM A TERM toda a desigualdade por x^{4}, obtendo
-\,x^{4} \;\le\; x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) \;\le\; x^{4}.

Passo 4

Agora calculamos o limite das funções de contorno quando x\to 0:
\lim_{x\to 0} (-\,x^{4}) = 0, \qquad \lim_{x\to 0} x^{4} = 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, se
\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} g(x) = L
e f(x)\le h(x)\le g(x) perto de x=0, então
\lim_{x\to 0} h(x) = L.
Aqui f(x)=-x^4, h(x)=x^4\cos(2/x) e g(x)=x^4, todos tendem a 0. Logo
\lim_{x\to 0} x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) = 0.

Resposta

0

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