Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{2 x-2}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{e^{2x-2}-1}{x-1}.
O conteúdo aqui é limites envolvendo função exponencial. Vamos usar a técnica de mudança de variável e o limite fundamental \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.

Passo 2

Observe que
e^{2x-2}=e^{2(x-1)}.
Fazendo a substituição u = x-1, quando x\to1 temos u\to0 e
\frac{e^{2x-2}-1}{x-1} = \frac{e^{2u}-1}{u}.

Passo 3

Reescrevemos o quociente para usar o limite fundamental:
\frac{e^{2u}-1}{u} =2\,\frac{e^{2u}-1}{2u}.
Como \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1, basta notar que 2u\to0 quando u\to0. Logo,
\lim_{u\to0}\frac{e^{2u}-1}{u} =2\lim_{u\to0}\frac{e^{2u}-1}{2u} =2\cdot1 =2.

Resposta

2

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