Exercício 4. Considere as funções polinomiais
e
.
a) Verifique que
é uma raiz comum de
e de
.
b) Fatore a raiz comum de
e
. Ou seja, determine constantes reais
e
tais que
c) Calcule
.
a) Verifique que
b) Fatore a raiz comum de
Passo 1
O enunciado trabalha com polinômios e pede três coisas: (a) mostrar que
é raiz comum de
e
(b) dividir cada polinômio por
para encontrar a fatoração
e (c) calcular
Vamos usar avaliação direta para (a), divisão sintética para (b) e cancelamento de fator em (c).
Passo 2
Para verificar que
é raiz de
e de
, basta substituir
:
Logo,
anula ambos, isto é, é raiz comum.
Passo 3
Fatorando
por
via divisão sintética:
coeficientes de :
.
Usando :
coeficientes de
Usando
O resto é zero e o quociente é
. Portanto,
Passo 4
Fatorando
por
com divisão sintética:
coeficientes de :
.
Usando :
coeficientes de
Usando
O resto é zero e o quociente é
. Assim,
Passo 5
Para o limite, note que em torno de
ambos os polinômios têm fator comum
, então
Agora basta avaliar em
:
Resposta
a)
é raiz comum de
e
.
b) e
.
c)
b)
c)