Exercício 4. Considere as funções polinomiais f(x)=x^{3}-6 x-9 e g(x)=x^{3}-8 x-3.
a) Verifique que a=3 é uma raiz comum de f e de g.
b) Fatore a raiz comum de f e g. Ou seja, determine constantes reais a, b, c e d tais que
f(x)=(x-3)\left(x^{2}+a x+b\right) \quad \text { e } \quad g(x)=(x-3)\left(x^{2}+c x+d\right) .
c) Calcule \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-6 x-9}{x^{3}-8 x-3}.

Passo 1

O enunciado trabalha com polinômios e pede três coisas: (a) mostrar que \,3 é raiz comum de
f(x)=x^{3}-6x-9
e
g(x)=x^{3}-8x-3,
(b) dividir cada polinômio por (x-3) para encontrar a fatoração
f(x)=(x-3)(x^2+ax+b), \quad g(x)=(x-3)(x^2+cx+d),
e (c) calcular
\lim_{x\to3}\frac{f(x)}{g(x)}.
Vamos usar avaliação direta para (a), divisão sintética para (b) e cancelamento de fator em (c).

Passo 2

Para verificar que 3 é raiz de f e de g, basta substituir x=3:
f(3)=3^{3}-6\cdot3-9=27-18-9=0,
g(3)=3^{3}-8\cdot3-3=27-24-3=0.
Logo, \,x=3 anula ambos, isto é, é raiz comum.

Passo 3

Fatorando f(x) por (x-3) via divisão sintética:
coeficientes de f: 1,\;0,\;-6,\;-9.
Usando 3:
\begin{array}{c|rrrr} 3 & 1 & 0 & -6 & -9 \\\ & & 3 & 9 & 3 \\\ \hline & 1 & 3 & 3 & 0 \end{array}
O resto é zero e o quociente é x^2+3x+3. Portanto,
f(x)=(x-3)(x^2+3x+3).

Passo 4

Fatorando g(x) por (x-3) com divisão sintética:
coeficientes de g: 1,\;0,\;-8,\;-3.
Usando 3:
\begin{array}{c|rrrr} 3 & 1 & 0 & -8 & -3 \\\ & & 3 & 9 & 3 \\\ \hline & 1 & 3 & 1 & 0 \end{array}
O resto é zero e o quociente é x^2+3x+1. Assim,
g(x)=(x-3)(x^2+3x+1).

Passo 5

Para o limite, note que em torno de x=3 ambos os polinômios têm fator comum (x-3), então
\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{(x-3)(x^2+3x+3)}{(x-3)(x^2+3x+1)} =\frac{x^2+3x+3}{x^2+3x+1} \quad(x\neq3).
Agora basta avaliar em x=3:
\lim_{x\to3}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{3^2+3\cdot3+3}{3^2+3\cdot3+1} =\frac{9+9+3}{9+9+1} =\frac{21}{19}.

Resposta

a) \,3 é raiz comum de f e g.
b) f(x)=(x-3)(x^2+3x+3) e g(x)=(x-3)(x^2+3x+1).
c) \displaystyle\lim_{x\to3}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{21}{19}.

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