Exercício 3. Calcule cada um dos limites a seguir, justificando detalhadamente cada passagem:
\lim _{x \rightarrow-2} \sqrt[3]{\frac{3 x^{3}-5 x^{2}-x+2}{4 x+3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -2}\sqrt[3]{\frac{3x^{3}-5x^{2}-x+2}{4x+3}}.
Aqui temos uma composição de funções: a função racional
h(x)=\frac{3x^{3}-5x^{2}-x+2}{4x+3}
e a raiz cúbica. Vamos usar que polinômios são contínuos em \mathbb{R}, que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não zera, e que a raiz cúbica é contínua em \mathbb{R}.

Passo 2

Verificamos o denominador em x=-2:
4(-2)+3=-8+3=-5\neq 0.
Logo h(x) é contínua em x=-2 e
\lim_{x\to -2}h(x)=h(-2).

Passo 3

Calculamos h(-2). O numerador vale
3(-2)^{3}-5(-2)^{2}-(-2)+2 =3\cdot(-8)-5\cdot4+2+2 =-24-20+4=-40,
e o denominador é -5. Portanto
h(-2)=\frac{-40}{-5}=8.

Passo 4

Como a função x\mapsto \sqrt[3]{\,x\,} é contínua em todo \mathbb{R}, podemos levar o limite para dentro da raiz cúbica:
\lim_{x\to -2}\sqrt[3]{h(x)} =\sqrt[3]{\lim_{x\to -2}h(x)} =\sqrt[3]{8}=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados