Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - O ponto de interesse é
. - Se fizermos a substituição direta em
obtemos no numerador e no denominador , ou seja a forma , que é indeterminada (não permite concluir o valor do limite sem manipulação).
Passo 2
Entendendo a indeterminação
. Quando a substituição direta dá
, significa que tanto numerador quanto denominador anulam-se em
. Nesse caso é preciso manipular algebricamente a expressão para simplificá‑la (fatorar, cancelar fatores comuns, etc.) e então avaliar o limite. Não dá para concluir nada só com
.
Passo 3
Vamos expandir o quadrado do numerador usando a fórmula do quadrado da soma:
Aqui
e
, então
Passo 4
Substituindo a expansão na expressão do limite:
Passo 5
Fatoramos o numerador e simplificamos:
portanto, para
,
Observação importante (didática): a simplificação que cancela
só vale para
. Para o cálculo do limite questão interessa o comportamento quando
se aproxima de
(valores próximos a
, não exatamente
), então podemos usar a expressão simplificada
para avaliar o limite.
Passo 6
Como
é uma função polinomial (continua em todo lugar), o limite quando
é dado pela substituição direta:
Portanto o limite procurado é
.
Passo 7
Comentário extra (útil na prova): uma outra visão é notar que a expressão é o quociente de diferença de
no ponto
,
que é exatamente a definição do derivada
. Calculando
e avaliando em
dá
, mesmo resultado. Isso é opcional, só uma forma alternativa de ver o problema.