Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+4)^{2}-16}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{(x+4)^{2}-16}{x}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é (x+4)^{2}-16.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Se fizermos a substituição direta em x=0 obtemos no numerador (0+4)^{2}-16=16-16=0 e no denominador 0, ou seja a forma \tfrac{0}{0}, que é indeterminada (não permite concluir o valor do limite sem manipulação).

Passo 2

Entendendo a indeterminação \tfrac{0}{0}. Quando a substituição direta dá \tfrac{0}{0}, significa que tanto numerador quanto denominador anulam-se em x=0. Nesse caso é preciso manipular algebricamente a expressão para simplificá‑la (fatorar, cancelar fatores comuns, etc.) e então avaliar o limite. Não dá para concluir nada só com \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Vamos expandir o quadrado do numerador usando a fórmula do quadrado da soma:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aqui a=x e b=4, então
(x+4)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 4+4^{2}=x^{2}+8x+16.

Passo 4

Substituindo a expansão na expressão do limite:
\frac{(x+4)^{2}-16}{x}=\frac{x^{2}+8x+16-16}{x}=\frac{x^{2}+8x}{x}.

Passo 5

Fatoramos o numerador e simplificamos:
x^{2}+8x=x(x+8),
portanto, para x\neq 0,
\frac{x^{2}+8x}{x}=\frac{x(x+8)}{x}=x+8.
Observação importante (didática): a simplificação que cancela x só vale para x\neq 0. Para o cálculo do limite questão interessa o comportamento quando x se aproxima de 0 (valores próximos a 0, não exatamente 0), então podemos usar a expressão simplificada x+8 para avaliar o limite.

Passo 6

Como x+8 é uma função polinomial (continua em todo lugar), o limite quando x\to 0 é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to 0}(x+8)=0+8=8.
Portanto o limite procurado é 8.

Passo 7

Comentário extra (útil na prova): uma outra visão é notar que a expressão é o quociente de diferença de f(x)=(x+4)^{2} no ponto 0,
\frac{f(x)-f(0)}{x-0},
que é exatamente a definição do derivada f'(0). Calculando f'(x)=2(x+4) e avaliando em x=0 f'(0)=2\cdot 4=8, mesmo resultado. Isso é opcional, só uma forma alternativa de ver o problema.

Resposta

8

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