Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é a expressão
. - Se substituirmos
diretamente, obtemos numerador e denominador ; portanto a substituição direta dá a forma indeterminada .
Passo 2
O que significa a indeterminação
e qual a ideia para resolver: essa forma indica que a expressão racional tem um fator comum que zera tanto o numerador quanto o denominador quando
. Uma maneira simples e clássica (e muito usada em provas) é fatorar o numerador e simplificar o fator comum, transformando a expressão em outra equivalente para
, e então calcular o limite por substituição.
Passo 3
Fórmula que vamos usar (aula rápida): diferença de quadrados. Para quaisquer números ou expressões
e
vale
Aqui, identifique
e
. Aplicando a fórmula ao numerador:
Passo 4
Substituindo essa fatoração na razão original temos, para
,
Agora podemos simplificar o fator comum
(porque cancelamos um fator não nulo; lembrando que isso não altera o valor da função para
):
Passo 5
Como limite só se importa com o comportamento quando
se aproxima de
(e não com o valor exatamente em
), podemos calcular
Agora substituímos
na expressão simplificada:
Passo 6
Interpretação final e observações didáticas rápidas:
- A função original tem uma descontinuidade removível em
(porque o limite existe e é finito, embora a função original não esteja definida lá após simplificação). - Em provas, a técnica padrão para esse tipo de limite é: (1) verificar substituição direta; se der
, (2) tentar fatorar e cancelar fatores comuns; (3) então substituir na expressão simplificada. - Exemplo extra rápido para treinar:
. Fatorando e cancelando dá . Mesmo processo, mesma ideia — tenta fazer um parecido para fixar.