Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}-16}{x+4}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -4}\frac{x^{2}-16}{x+4}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é o polinômio \,x^{2}-16.
  • O denominador é a expressão \,x+4.
  • Se substituirmos x=-4 diretamente, obtemos numerador (-4)^{2}-16=16-16=0 e denominador -4+4=0; portanto a substituição direta dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

O que significa a indeterminação \tfrac{0}{0} e qual a ideia para resolver: essa forma indica que a expressão racional tem um fator comum que zera tanto o numerador quanto o denominador quando x=-4. Uma maneira simples e clássica (e muito usada em provas) é fatorar o numerador e simplificar o fator comum, transformando a expressão em outra equivalente para x\neq -4, e então calcular o limite por substituição.

Passo 3

Fórmula que vamos usar (aula rápida): diferença de quadrados. Para quaisquer números ou expressões a e b vale
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui, identifique a=x e b=4. Aplicando a fórmula ao numerador:
x^{2}-16 = x^{2}-4^{2} = (x-4)(x+4).

Passo 4

Substituindo essa fatoração na razão original temos, para x\neq -4,
\frac{x^{2}-16}{x+4} = \frac{(x-4)(x+4)}{x+4}.
Agora podemos simplificar o fator comum (x+4) (porque cancelamos um fator não nulo; lembrando que isso não altera o valor da função para x\neq -4):
\frac{(x-4)(x+4)}{x+4} = x-4\qquad\text{(para }x\neq -4\text{).}

Passo 5

Como limite só se importa com o comportamento quando x se aproxima de -4 (e não com o valor exatamente em -4), podemos calcular
\lim_{x\to -4}\frac{x^{2}-16}{x+4}=\lim_{x\to -4}(x-4).
Agora substituímos x=-4 na expressão simplificada:
\lim_{x\to -4}(x-4)=(-4)-4=-8.

Passo 6

Interpretação final e observações didáticas rápidas:
  • A função original tem uma descontinuidade removível em x=-4 (porque o limite existe e é finito, embora a função original não esteja definida lá após simplificação).
  • Em provas, a técnica padrão para esse tipo de limite é: (1) verificar substituição direta; se der 0/0, (2) tentar fatorar e cancelar fatores comuns; (3) então substituir na expressão simplificada.
  • Exemplo extra rápido para treinar: \lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}. Fatorando x^{2}-4=(x-2)(x+2) e cancelando dá \lim_{x\to 2}(x+2)=4. Mesmo processo, mesma ideia — tenta fazer um parecido para fixar.

Resposta

-8

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