\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{5}+2 x^{3}}{\tan (x)-\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x \to 0 da expressão
\frac{x^{5}+2 x^{3}}{\tan(x)-\operatorname{sen}(x)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável tende a 0.
  • No numerador aparece x^{5}+2x^{3}.
  • No denominador aparece \tan(x)-\operatorname{sen}(x) (aqui \operatorname{sen}(x) significa \sin(x)).
  • Quer-se o valor numérico do limite.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o integrando para simplificar a expressão e deixar evidentes fatores que se cancelam quando x\to0.
Primeiro, fatoro x^{3} no numerador:
x^{5}+2x^{3}=x^{3}\bigl(x^{2}+2\bigr).
No denominador uso \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}, então
\tan(x)-\sin(x)=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x =\sin x\!\left(\frac{1}{\cos x}-1\right) =\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}.
Substituindo isso na fração original obtemos (formula isolada):
\frac{x^{5}+2x^{3}}{\tan(x)-\sin(x)} = \frac{x^{3}\bigl(x^{2}+2\bigr)}{\sin x\cdot\dfrac{1-\cos x}{\cos x}} = x^{3}\bigl(x^{2}+2\bigr)\cdot\frac{\cos x}{\sin x\,(1-\cos x)}.

Passo 3

Reescrevo a expressão de forma a separar fatores cujo limite conhecemos:
\frac{x^{5}+2x^{3}}{\tan x-\sin x} = \underbrace{\frac{x^{3}}{\sin x\,(1-\cos x)}}_{A(x)} \cdot \underbrace{\bigl(x^{2}+2\bigr)\cos x}_{B(x)}.
Vou calcular \lim_{x\to0}A(x) e \lim_{x\to0}B(x) separadamente e depois multiplicar (produto de limites, quando existem).

Passo 4

Precisamos usar limites trigonométricos básicos. Dois limites úteis e suas justificativas rápidas:
  1. \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
    Isto é um limite fundamental do círculo trigonométrico (ou da série de Taylor): para x pequeno, \sin x comporta-se como x.
  2. \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.
    Uma maneira simples de ver isso é usar a identidade
1-\cos x=2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Dividindo por x^{2} e reescrevendo,
\frac{1-\cos x}{x^{2}} =2\cdot\left(\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\tfrac{x}{2}}\right)^{2}.
Como \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, substituindo u=\tfrac{x}{2} vem que o quadrado tende a 1, logo o limite vale \tfrac{1}{2}.
Também usaremos que \displaystyle \lim_{x\to0}\cos x=1.

Passo 5

Calculo \lim_{x\to0}A(x) onde
A(x)=\frac{x^{3}}{\sin x\,(1-\cos x)}.
Reescrevo A(x) como produto de dois quocientes mais simples:
A(x)=\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{x^{2}}{1-\cos x}.
Agora aplico os limites conhecidos:
  • \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)^{-1}=1^{-1}=1.
  • \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1-\cos x}=\left(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}\right)^{-1}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2.
Portanto
\lim_{x\to0}A(x)=1\cdot 2=2.

Passo 6

Calculo \lim_{x\to0}B(x) onde
B(x)=\bigl(x^{2}+2\bigr)\cos x.
Aqui é direto:
\lim_{x\to0}\bigl(x^{2}+2\bigr)=2, \qquad \lim_{x\to0}\cos x=1,
logo pelo produto
\lim_{x\to0}B(x)=2\cdot 1=2.

Passo 7

Como os limites de A(x) e B(x) existem, o limite da expressão original é o produto:
\lim_{x\to0}\frac{x^{5}+2x^{3}}{\tan x-\sin x} =\bigl(\lim_{x\to0}A(x)\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to0}B(x)\bigr) =2\cdot 2=4.

Resposta

4

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