\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x},

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}-\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}{x}.
Informações dadas:
  • A variável é x e o limite é tomado quando x tende a 0.
  • No numerador aparecem as funções \sqrt{1+\operatorname{sen}x} e \sqrt{1-\operatorname{sen}x}.
  • Precisa-se encontrar um número (se existir) que seja o valor dessa expressão quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao substituir x=0.
Calcular o numerador em x=0:
\sqrt{1+\operatorname{sen}0}-\sqrt{1-\operatorname{sen}0}=\sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}=1-1=0.
O denominador em x=0 é 0. Portanto a forma é 0/0, que é indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Resolva algebricamente a indeterminação usando a técnica da racionalização (multiplicar por conjugado).
Multiplico numerador e denominador por \sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x} (o conjugado do numerador), que é uma identidade algébrica válida para x onde as raízes estão definidas e o fator não é zero:
\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}-\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}.

Passo 4

Simplificar usando (a-b)(a+b)=a^2-b^2.
No numerador temos
(\sqrt{1+\operatorname{sen}x})^2-(\sqrt{1-\operatorname{sen}x})^2 = (1+\operatorname{sen}x)-(1-\operatorname{sen}x)=2\operatorname{sen}x.
Assim a expressão fica
\frac{2\operatorname{sen}x}{x\bigl(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}\bigr)}.

Passo 5

Reescrever de forma que apareça o conhecido limite \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}.
Coloco em evidência \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}:
\frac{2\operatorname{sen}x}{x\bigl(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}\bigr)} = \frac{2\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right)}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}.
Agora vou usar fatos sobre limites para avaliar quando x\to0.

Passo 6

Estabelecer limites auxiliares necessários.
  1. Limite fundamental: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
    Explicação didática curta: para x próximo de 0 pode-se usar a desigualdade geométrica
\cos x \le \frac{\operatorname{sen}x}{x} \le 1\quad\text{para }x\text{ próximo de }0,ó
e como \lim_{x\to 0}\cos x=1, pelo teorema do confronto (squeeze), conclui-se que \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
(Em poucas palavras: \operatorname{sen}x e x têm comportamento muito parecido perto de 0, por isso a razão tende a 1.)
  1. Continuidade da raiz quadrada: a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t>0. Como \operatorname{sen}x\to 0 quando x\to 0, temos
\lim_{x\to 0}\sqrt{1+\operatorname{sen}x}=\sqrt{1}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\sqrt{1-\operatorname{sen}x}=\sqrt{1}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\bigl(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}\bigr)=1+1=2.

Passo 7

Aplicar os limites à expressão simplificada.
Usando os resultados dos passos anteriores, quando x\to 0 temos
\frac{2\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right)}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+\sqrt{1-\operatorname{sen}x}} \longrightarrow \frac{2\cdot 1}{2}=1,
pois o numerador tende a 2 e o denominador da fração (a soma das raízes) tende a 2, logo o quociente tende a 1.

Resposta

1

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