Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A variável é
e o limite é tomado quando tende a . - No numerador aparecem as funções
e . - Precisa-se encontrar um número (se existir) que seja o valor dessa expressão quando
se aproxima de .
Passo 2
Verificar a forma indeterminada ao substituir
.
Calcular o numerador em
:
O denominador em
é
. Portanto a forma é
, que é indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só substituindo; é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Resolva algebricamente a indeterminação usando a técnica da racionalização (multiplicar por conjugado).
Multiplico numerador e denominador por
(o conjugado do numerador), que é uma identidade algébrica válida para
onde as raízes estão definidas e o fator não é zero:
Passo 4
Simplificar usando
.
No numerador temos
Assim a expressão fica
Passo 5
Reescrever de forma que apareça o conhecido limite
.
Coloco em evidência
:
Agora vou usar fatos sobre limites para avaliar quando
.
Passo 6
Estabelecer limites auxiliares necessários.
- Limite fundamental:
.
Explicação didática curta: parapróximo de pode-se usar a desigualdade geométrica
e como
, pelo teorema do confronto (squeeze), conclui-se que
.
(Em poucas palavras: e
têm comportamento muito parecido perto de
, por isso a razão tende a
.)
(Em poucas palavras:
- Continuidade da raiz quadrada: a função
é contínua para . Como quando , temos
Portanto
Passo 7
Aplicar os limites à expressão simplificada.
Usando os resultados dos passos anteriores, quando
temos
pois o numerador tende a
e o denominador da fração (a soma das raízes) tende a
, logo o quociente tende a
.
Resposta
1