Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x+7}{5 x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5x+7}{5x}\right)^x.
O conteúdo é limites exponenciais na forma \bigl(1+\frac{\text{pequeno}}{x}\bigr)^x, e vamos usar a identificação desse tipo de limite com a função exponencial.

Passo 2

Reescrevemos a base de forma mais clara:
\left(\frac{5x+7}{5x}\right)^x =\left(1+\frac{7}{5x}\right)^x.

Passo 3

Defina
L=\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{7}{5x}\Bigr)^x.
Para achar L, é útil trabalhar com o logaritmo natural:
\ln L =\lim_{x\to\infty}x\;\ln\!\Bigl(1+\tfrac{7}{5x}\Bigr).

Passo 4

Usamos a expansão \ln(1+u)=u+o(u) quando u\to0. Aqui u=\tfrac{7}{5x}\to0, logo
\ln\!\Bigl(1+\tfrac{7}{5x}\Bigr) =\frac{7}{5x}+o\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Multiplicando por x
x\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{7}{5x}\Bigr) =\frac{7}{5}+x\cdot o\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) \;\longrightarrow\;\frac{7}{5}.
Portanto \ln L=\tfrac{7}{5}.

Passo 5

Elevando e dos dois lados, obtemos
L=e^{7/5}.

Resposta

e^{\tfrac{7}{5}}

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