Simplifique:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para simplificar a expressão
. - Informações implícitas importantes para o domínio: a expressão original
deve ser positiva para o logaritmo natural estar definido. Portanto é necessário que . Em particular, para termos real e positivo precisamos de ; também . (Vamos tratar cuidadosamente de sinais quando transformarmos potências em logaritmos.)
Passo 2
Lembrando as propriedades dos logaritmos que vamos usar (explicadas de forma bem didática):
- Produto vira soma:
. Isso vem do fato de que log transforma multiplicação em adição. - Quociente vira diferença:
. - potência sai como fator:
. Atenção ao valor absoluto: se for inteiro par (por exemplo ), é não-negativo mesmo que seja negativo, então a forma correta e geral é usar quando tiramos o expoente fora do log. Para expoentes racionais que criam raízes (por exemplo ), exige-se para ficar no campo dos reais.
Exemplos rápidos para fixar:
-
. -
.
Passo 3
Aplicar a propriedade do quociente primeiro:
Aqui só se separou numerador e denominador em dois termos de logaritmo usando
.
Passo 4
Agora aplicar a propriedade do produto ao termo
:
Expliquei: a raiz quadrada
está sendo multiplicada por
, então o log do produto é soma dos logs.
Passo 5
Reescrever potências e usar a propriedade da potência saindo do log. Primeiro note que
. Aplicando
(no caso de
podemos escrever sem valor absoluto):
Para o denominador, usando a regra com o valor absoluto apropriado:
Observação sobre sinais: a expressão original é bem definida para
negativo (porque
), mas se transformarmos
em
isso exigiria
. A forma correta e geral é
, que funciona para
.
Passo 6
Juntando tudo:
Explicação final: primeiro se separou numerador/denominador, depois separou o produto no numerador, transformou raízes em potências fracionárias e extraiu o expoente como coeficiente do log. Mantivemos
para garantir validade quando
.
Passo 7
Resumo das condições de validade da forma simplificada:
- É preciso
para ser real e estar definido. - É preciso
porque o sinal do argumento original depende de (já que e ), então para o log original existir devemos ter . - Para o termo
basta .