Simplifique:
\ln \left(\frac{x \sqrt{y}}{z^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para simplificar a expressão \ln\!\left(\frac{x \sqrt{y}}{z^{2}}\right).
  • Informações implícitas importantes para o domínio: a expressão original \frac{x\sqrt{y}}{z^{2}} deve ser positiva para o logaritmo natural estar definido. Portanto é necessário que x\sqrt{y}/z^{2}>0. Em particular, para termos \sqrt{y} real e positivo precisamos de y>0; também z\neq 0. (Vamos tratar cuidadosamente de sinais quando transformarmos potências em logaritmos.)

Passo 2

Lembrando as propriedades dos logaritmos que vamos usar (explicadas de forma bem didática):
  • Produto vira soma: \ln(ab)=\ln a+\ln b. Isso vem do fato de que log transforma multiplicação em adição.
  • Quociente vira diferença: \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b.
  • potência sai como fator: \ln\!\left(a^{k}\right)=k\,\ln|a|. Atenção ao valor absoluto: se k for inteiro par (por exemplo k=2), a^{k} é não-negativo mesmo que a seja negativo, então a forma correta e geral é usar \ln|a| quando tiramos o expoente fora do log. Para expoentes racionais que criam raízes (por exemplo a^{1/2}), exige-se a>0 para ficar no campo dos reais.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \ln(6)=\ln(2\cdot3)=\ln2+\ln3.
  • \ln(4)=\ln(2^{2})=2\ln|2|=2\ln2.

Passo 3

Aplicar a propriedade do quociente primeiro:
\ln\!\left(\frac{x \sqrt{y}}{z^{2}}\right)=\ln\!\left(x\sqrt{y}\right)-\ln\!\left(z^{2}\right).
Aqui só se separou numerador e denominador em dois termos de logaritmo usando \ln(a/b)=\ln a-\ln b.

Passo 4

Agora aplicar a propriedade do produto ao termo \ln\!\left(x\sqrt{y}\right):
\ln\!\left(x\sqrt{y}\right)=\ln x+\ln\sqrt{y}.
Expliquei: a raiz quadrada \sqrt{y} está sendo multiplicada por x, então o log do produto é soma dos logs.

Passo 5

Reescrever potências e usar a propriedade da potência saindo do log. Primeiro note que \sqrt{y}=y^{1/2}. Aplicando \ln(a^{k})=k\ln|a| (no caso de y>0 podemos escrever sem valor absoluto):
\ln\sqrt{y}=\ln\!\left(y^{1/2}\right)=\tfrac{1}{2}\ln y.
Para o denominador, usando a regra com o valor absoluto apropriado:
\ln\!\left(z^{2}\right)=2\ln|z|.
Observação sobre sinais: a expressão original é bem definida para z negativo (porque z^{2}>0), mas se transformarmos \ln(z^{2}) em 2\ln z isso exigiria z>0. A forma correta e geral é 2\ln|z|, que funciona para z\neq 0.

Passo 6

Juntando tudo:
\ln\!\left(\frac{x \sqrt{y}}{z^{2}}\right) = \big(\ln x+\ln\sqrt{y}\big)-\ln\!\left(z^{2}\right) = \ln x+\tfrac{1}{2}\ln y - 2\ln|z|.
Explicação final: primeiro se separou numerador/denominador, depois separou o produto no numerador, transformou raízes em potências fracionárias e extraiu o expoente como coeficiente do log. Mantivemos \ln|z| para garantir validade quando z<0.

Passo 7

Resumo das condições de validade da forma simplificada:
  • É preciso y>0 para \sqrt{y} ser real e \ln y estar definido.
  • É preciso x>0 porque o sinal do argumento original depende de x (já que \sqrt{y}\ge0 e z^{2}>0), então para o log original existir devemos ter x>0.
  • Para o termo \ln|z| basta z\neq 0.

Resposta

\ln x + \tfrac{1}{2}\ln y - 2\ln|z|

Exercícios relacionados