Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}
Informações dadas: a expressão é a razão entre x^{2}-1 e o valor absoluto \left|x^{2}-1\right|. Observação importante: em x=1 temos x^{2}-1=0, portanto a expressão não está definida exatamente em x=1; logo o limite precisa ser investigado pelas duas direções.

Passo 2

Vamos manipular a expressão algébrica para entender seu comportamento perto de [x=1).
Primeiro, fatoramos a diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Repare que, perto de x=1, a quantidade x+1 é positiva (por exemplo para todo x em (0,2) tem x+1>0). Assim, o sinal de x^{2}-1 perto de x=1 é dado pelo sinal de x-1.
Lembrete útil sobre valor absoluto: para qualquer u,
|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aplicando isso ao nosso caso com u=x^{2}-1\], para \(x\neq1 a expressão
\dfrac{x^{2}-1}{|x^{2}-1|} toma apenas os valores 1 ou -1, dependendo do sinal de x^{2}-1.]

Passo 3

Calculemos o limite pela direita, isto é \lim_{x\to 1^{+}}.
Se x>1 e suficientemente próximo de 1, então x-1>0 e, como x+1>0, temos x^{2}-1>0. Nesse caso
|x^{2}-1|=x^{2}-1,
portanto, para x>1 próximo de 1,
\frac{x^{2}-1}{|x^{2}-1|}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}=1.
Assim,
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-1}{|x^{2}-1|}=1.

Passo 4

Agora calculemos o limite pela esquerda, isto é \lim_{x\to 1^{-}}.
Se x<1 e próximo de 1, então x-1<0 e x+1>0, logo x^{2}-1<0. Nesse caso
|x^{2}-1|=-(x^{2}-1),
e assim, para x<1 próximo de 1,
\frac{x^{2}-1}{|x^{2}-1|}=\frac{x^{2}-1}{-(x^{2}-1)}=-1.
Portanto
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{|x^{2}-1|}=-1.

Passo 5

Compare as duas mono-laterais: pela direita o limite é 1 e pela esquerda é -1. Como as duas são diferentes, o limite bilateral não existe.
Interpretação intuitiva: a função é a função sinal de x-1 perto de 1 (salta de -1 para 1 em x=1), então há uma descontinuidade do tipo salto e não existe limite comum.

Resposta

Não existe.

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