Calcule os limites \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}
Informações dadas: a expressão é a razão entre x^{2}-1 e o valor absoluto \left|x^{2}-1\right|. Observação importante: em x=1 temos x^{2}-1=0, portanto a expressão não está definida exatamente em x=1; logo o limite precisa ser investigado pelas duas direções.
Passo 2
Vamos manipular a expressão algébrica para entender seu comportamento perto de [x=1).
Primeiro, fatoramos a diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Repare que, perto de x=1, a quantidade x+1 é positiva (por exemplo para todo x em (0,2) tem x+1>0). Assim, o sinal de x^{2}-1 perto de x=1 é dado pelo sinal de x-1.
Lembrete útil sobre valor absoluto: para qualquer u,
Compare as duas mono-laterais: pela direita o limite é 1 e pela esquerda é -1. Como as duas são diferentes, o limite bilateral não existe.
Interpretação intuitiva: a função é a função sinal de x-1 perto de 1 (salta de -1 para 1 em x=1), então há uma descontinuidade do tipo salto e não existe limite comum.