Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{e^x-1}.
O conteúdo aqui é limite com forma indeterminada \tfrac{0}{0}, e vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que, sob certas condições,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
o numerador vai a 0^2=0 e o denominador a e^0-1=0. Logo temos \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{e^x-1} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}(x^2)}{\frac{d}{dx}(e^x-1)} = \lim_{x\to0}\frac{2x}{e^x}.

Passo 4

Agora basta substituir x=0 em \tfrac{2x}{e^x}: o numerador vira 2\cdot0=0 e o denominador vira e^0=1, então
\lim_{x\to0}\frac{2x}{e^x}=\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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