Determine os intervalos onde as funções crescem ou decrescem, seus extremos relativos, e os intervalos onde são côncavas ou convexas, mostranto os pontos de inflexão.
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a função
nos itens abaixo:
- Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento (usando a primeira derivada).
- Identificar os extremos relativos.
- Determinar os intervalos de concavidade côncava e convexa (usando a segunda derivada).
- Encontrar os pontos de inflexão.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para analisar monotonicidade e extremos:
Os pontos críticos vêm de
, logo
Passo 3
Para saber onde
cresce ou decresce, examinamos o sinal de
:
- Em
: e ; (decresce). - Em
: e ; (decresce). - Em
: e ; (cresce).
Logo:
Em
a derivada muda de negativa para negativa (sem troca de sinal), logo não há extremo em
. Em
há troca de sinal de
de negativo para positivo, configurando um mínimo relativo.
O valor desse mínimo é
O valor desse mínimo é
Passo 4
Agora usamos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
Os pontos onde
são
e
.
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Em
: , ; (cônvexo para cima). - Em
: , ; (côncavo para baixo). - Em
: , ; (cônvexo para cima).
Os pontos de inflexão ocorrem onde muda a concavidade, isto é, em
e
. Seus valores:
Resposta
Intervalos de crescimento e decrescimento:
é decrescente em
e crescente em
.
Extremo relativo:
mínimo em com
.
Concavidade:
cônvexo para cima em e em
;; côncavo para baixo em
.
Pontos de inflexão:
e
.
Extremo relativo:
mínimo em
Concavidade:
cônvexo para cima em
Pontos de inflexão: