Determine os intervalos onde as funções crescem ou decrescem, seus extremos relativos, e os intervalos onde são côncavas ou convexas, mostranto os pontos de inflexão.
3.
f(x)=x^{4}-4 x^{3}+10

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a função
f(x)=x^{4}-4x^{3}+10
nos itens abaixo:
  1. Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento (usando a primeira derivada).
  2. Identificar os extremos relativos.
  3. Determinar os intervalos de concavidade côncava e convexa (usando a segunda derivada).
  4. Encontrar os pontos de inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para analisar monotonicidade e extremos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-4x^{3}+10\bigr) =4x^{3}-12x^{2} =4x^{2}(x-3).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, logo
4x^{2}(x-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ (\text{multiplicidade 2}),\\ x=3.

Passo 3

Para saber onde f cresce ou decresce, examinamos o sinal de f'(x)=4x^{2}(x-3):
  • Em x<0: x^{2}>0 e x-3<0; \Rightarrow f'<0 (decresce).
  • Em 0<x<3: x^{2}>0 e x-3<0; \Rightarrow f'<0 (decresce).
  • Em x>3: x^{2}>0 e x-3>0; \Rightarrow f'>0 (cresce).
Logo:
\text{decrescente em }(-\infty,3), \quad \text{crescente em }(3,\infty).
Em x=0 a derivada muda de negativa para negativa (sem troca de sinal), logo não há extremo em x=0. Em x=3 há troca de sinal de f' de negativo para positivo, configurando um mínimo relativo.
O valor desse mínimo é
f(3)=3^{4}-4\cdot3^{3}+10=81-108+10=-17.

Passo 4

Agora usamos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}(x-3)\bigr) =12x^{2}-24x =12x(x-2).
Os pontos onde f''(x)=0 são x=0 e x=2.
Analisando o sinal de f''(x):
  • Em x<0: x<0, x-2<0; \Rightarrow f''>0 (cônvexo para cima).
  • Em 0<x<2: x>0, x-2<0; \Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
  • Em x>2: x>0, x-2>0; \Rightarrow f''>0 (cônvexo para cima).
Os pontos de inflexão ocorrem onde muda a concavidade, isto é, em x=0 e x=2. Seus valores:
f(0)=10,\quad f(2)=2^{4}-4\cdot2^{3}+10=16-32+10=-6.

Resposta

Intervalos de crescimento e decrescimento:
\,f é decrescente em (-\infty,3) e crescente em (3,\infty).
Extremo relativo:
mínimo em x=3 com f(3)=-17.
Concavidade:
cônvexo para cima em (-\infty,0) e em (2,\infty);; côncavo para baixo em (0,2).
Pontos de inflexão:
(0,10) e (2,-6).

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