Encontre R e o intervalo de \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n} \sqrt{n+1}}. Passo 1O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=3: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}. Para encontrar R, vamos usar o teste da raiz, que calcula \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(x-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}\right|}. Passo 2Aplicando o teste da raiz: \sqrt[n]{\left|\frac{(x-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}\right|} =\frac{|x-3|}{2}\cdot\frac{1}{(n+1)^{1/(2n)}} \longrightarrow \frac{|x-3|}{2}\quad(n\to\infty). A condição de convergência é \frac{|x-3|}{2}<1, ou seja |x-3|<2. Logo, o raio de convergência é R=2. Passo 3No extremo direito x=5, temos \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(5-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}. Essa série diverge por comparação com \sum n^{-1/2} (p-série com p=\tfrac12\le1). Passo 4No extremo esquerdo x=1, a série vira \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}. Aqui os termos \frac{1}{\sqrt{n+1}} são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pelo critério da série alternada essa série converge. A convergência não é absoluta, pois \sum1/\sqrt{n+1} diverge. Resposta R=2, intervalo de convergência [1,5). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine R e o intervalo de \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x+2)^{2 n+1}}{2 n+1}. Encontre R e o intervalo de \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}} x^{n}. Determine os intervalos onde as funções crescem ou decrescem, seus extremos relativos, e os intervalos onde são côncavas ou convexas, mostranto os pontos de inflexão. 3. f(x)=x^{4}-4 x^{3}+10 Calcule os limites: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}-1}