Encontre R e o intervalo de \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n} \sqrt{n+1}}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=3:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}.
Para encontrar R, vamos usar o teste da raiz, que calcula
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(x-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}\right|}.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz:
\sqrt[n]{\left|\frac{(x-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}}\right|} =\frac{|x-3|}{2}\cdot\frac{1}{(n+1)^{1/(2n)}} \longrightarrow \frac{|x-3|}{2}\quad(n\to\infty).
A condição de convergência é \frac{|x-3|}{2}<1, ou seja |x-3|<2. Logo, o raio de convergência é
R=2.

Passo 3

No extremo direito x=5, temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(5-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
Essa série diverge por comparação com \sum n^{-1/2} (p-série com p=\tfrac12\le1).

Passo 4

No extremo esquerdo x=1, a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-3)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{2^{n}\sqrt{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}.
Aqui os termos \frac{1}{\sqrt{n+1}} são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pelo critério da série alternada essa série converge. A convergência não é absoluta, pois \sum1/\sqrt{n+1} diverge.

Resposta

R=2, intervalo de convergência [1,5).

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