Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-1}{2x^{2}+1}.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito. Quando o grau do polinômio do numerador é igual ao do denominador, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para evidenciar isso, dividimos numerador e denominador por x^{2}, o maior grau em x:
\frac{x^{2}-1}{2x^{2}+1} =\frac{\displaystyle\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}{\displaystyle\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} =\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

À medida que x\to\infty, os termos \tfrac{1}{x^{2}} tendem a zero. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{1}{x^{2}}} =\frac{1-0}{2+0} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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