Questão 2. Dado o teorema: se f for integrável em [a, b], então
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta x
onde
\Delta x=\frac{b-a}{n}, \quad x_{i}=a+i \Delta x,
calcule
I=\int_{2}^{5}(4-2 x) d x
Dica: use
\sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{2}^{5}(4 - 2x)\,dx
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann. O conteúdo aqui é aplicar
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x
onde \Delta x=(b-a)/n e x_i=a+i\,\Delta x.

Passo 2

Para o nosso caso a=2 e b=5, logo
\Delta x = \frac{5-2}{n} = \frac{3}{n},
x_i = 2 + i\,\frac{3}{n}.

Passo 3

A soma de Riemann fica
\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\bigl(4 - 2x_i\bigr)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\Bigl(4 - 2\bigl(2 + \tfrac{3i}{n}\bigr)\Bigr)\frac{3}{n}.
Dentro da soma:
4 - 2\bigl(2 + \tfrac{3i}{n}\bigr) = 4 - 4 - \tfrac{6i}{n} = -\tfrac{6i}{n},
então
\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\bigl(-\tfrac{6i}{n}\bigr)\frac{3}{n} = -\frac{18}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i.

Passo 4

Usando a dica \sum_{i=1}^{n}i = \tfrac{n(n+1)}{2}, temos
-\frac{18}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = -9\,\frac{n+1}{n}.

Passo 5

Fazendo n\to\infty,
I = \lim_{n\to\infty}\Bigl(-9\,\frac{n+1}{n}\Bigr) = -9.

Resposta

-9

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