Escreva a regra de L’Hospital.

Passo 1

O enunciado pede a regra de L’Hôpital, que é um teorema de cálculo diferencial aplicado para avaliar limites de quocientes \frac{f(x)}{g(x)} quando surgem formas indeterminadas do tipo 0/0 ou \infty/\infty. Para isso, precisamos que ambas as funções f e g sejam deriváveis num intervalo (exceto possivelmente no ponto de interesse) e que as derivadas satisfaçam certas condições.

Passo 2

Verificamos as hipóteses necessárias:
  1. Existem um ponto a (real ou +\infty ou -\infty) e um intervalo aberto I contendo a tal que f e g são deriváveis em I\setminus\{a\}.
  2. Para todo x\in I\setminus\{a\}, vale g'(x)\neq 0.
  3. Ao nos aproximarmos de a, temos ou
    a) \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0, formando 0/0,
    ou
    b) \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty e \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty, formando \infty/\infty.

Passo 3

Sob essas hipóteses, se existir (ou for \pm\infty) o limite
L = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
então o limite original também existe e vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = L.

Resposta

Suponha que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente em a, e que g'(x)\neq 0 para todo x\neq a em I. Se
\lim_{x\to a}f(x)=0,\quad \lim_{x\to a}g(x)=0 \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty,\quad \lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty,
e se existir
L=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = L.

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