Questão 3. Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}(x)\,\operatorname{tg}(x)\,dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais de funções trigonométricas, e vamos usar o fato de que a derivada de \operatorname{sec}(x) é \operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 2

Como
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)=\operatorname{sec}(x)\tan(x)
temos a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx = \operatorname{sec}(x) + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx =\bigl[\operatorname{sec}(x)\bigr]_{0}^{\pi/4} =\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\operatorname{sec}(0).

Passo 4

Calculando os valores: \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2} e \operatorname{sec}(0)=1. Logo,
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}(x)\,\operatorname{tg}(x)\,dx = \sqrt{2}-1.

Resposta

\sqrt{2}-1

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